Suma de los "n" términos de una progresión aritmética
Es muy conocida la anécdota según la cual a “Carl Friedrich Gauss” (1777 – 1855), cuando tenía diez años, cuando llegó a la
clase de aritmética de la escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus compañeros que sumasen todos los números
aturales del 1 al 100. Antes el asombro del profesor, apenas este había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución 5,050.
Lo que este insigne matemático observó fue que 1 + 100 era igual 2 + 99, igual a 3 + 98, …., etc., es decir, rápidamente se dio cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar (50)(101) = 5,050, es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética.
A consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaron por él. Gauss estudió matemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas de Kazán, catedrático de astronomía y director del Observatorio Astronómico de Gotinga.
En general si se quiere sumar los “n” primeros términos de una progresión aritmética.
Sea la progresión formada por los ochos primeros múltiplos de 5:
an = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,40 se puede observar que la suma de los términos extremos es a1 + a8 = 5 + 40 → a1 + a8 = 45 y que la suma de los términos equidistante es la misma.
a2 + a7 = 10 + 35 → a2 + a7 = 45; a3 + a6 = 15 + 30 → a2 + a7 = 45; a4 + a5 = 20 + 25 → a2 + a7 = 45
En general, en una progresión aritmética limitada se verifica: a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
En una progresión aritmética limitada, la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
¿Cuál es la suma de los ochos términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos veces invirtiendo los términos en una de ellas.
S8 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40
S8 = 40 + 35 + 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 +
……………………………………………………….
2S8 = 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45
2S8 = 8 * 45 = 8 * (5 + 40) → S8 = [8 * (45)] / 2 → S8 = [360] / 2 → S8 = 180
Sea la progresión a1, a2, a3,..., an-1, an, si Sn representa la suma de los términos.
Sn = a1, a2, a3,..., an-1, an
Sn = an + an-1 + ... + a2 + a1 +
…………………………………………………….
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1)
Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 + an) se tiene: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) = (a1 + an) * n
Por tanto, la suma de los "n" términos de una progresión aritmética es: Sn = n(a1 + an)/2
I. Hallar la suma pedida en las siguientes progresiones aritméticas:
a) Ocho primeros términos de la progresión 15, 19, 23, --- --- --- ---
b) Catorce primeros términos de la progresión 3/10, 2/5, 1/2, --- --- --- ---
c) Noveno primeros términos de la progresión 1/2, 1, 3/2, --- --- --- ---
d) Siete primeros términos de la progresión – 2, 1/4, --- --- --- ---
e) Undécimo primeros términos de la progresión 42, 32, 22, --- --- --- ---
II. En una progresión aritmética se sabe que a1 = - 2 y a16 = 43. Halla a17
III. Suma los veinte primeros términos de la progresión – 5, 4, 13, 22, 31, 40, --- --- ---
IV. Calcula la suma y el número de términos de una progresión aritmética limitada, cuyo primer término es – 2, el último 22 y la diferencia es 3.
V. El primer término de una progresión aritmética es -1, y el decimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
VI. La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 menos cada uno de los siguientes días del tratamiento. El tratamiento dura 12 días. ¿Cuánto mg tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento?
Suma de los términos de una progresión geométrica
Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así,8, 32, 128, 512, 2048, 8192,….. es una progresión geométrica con razón igual a 4, porque cada elemento es el cuádruple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo el término en cuestión, a1 el primer término y , la razón: an = a1 * rn-1
Así: si se quiere calcular el quinto término de la progresión anterior:
an = a1 * rn-1 → a5 = 8 * 45-1 → a5 = 8 * 44 → a5 = 8 * 256 → a5 = 2048
Si quiere sumar todos los términos de una progresión, resulta muy laboriosa por lo que se hace necesario utilizar fórmulas.
Sea Sn la suma de los primeros términos consecutivos de una progresión geométrica.
Sn = a1 + a2 + a3 + ……. + an-1+ an
Demostración
Se sabe que: a2 = a1 * r; a3 = a2 * r; a4 = a3 * r ……….. an = an-1 * r
La suma de todos los términos del mimbro de la izquierda es igual a la suma de todos los términos del miembro de la derecha.
a2 + a3 + a4 +………… + an = a1 * r + a2 * r + a3 * r + a4 * r +………. + an-1 * r, se puede observar que en el miembro de la derecha “r” es un factor común
a2 + a3 + a4 +………… + an = r (a1 + a2 + a3 + a4 +………. + an-1)
El miembro de la izquierda es la suma de los términos de una progresión menos el primer término y el miembro de la derecha es el producto de la razón por la suma de los términos de la progresión menos el último término.
(a2 + a3 + a4 +………… + an) – a1 = r((a1 + a2 + a3 + a4 +………. + an-1) – an)
Si Sn = a2 + a3 + a4 +………… + an → Sn – a1; Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +………. + an-1 → r (Sn – an ) → Sn * r – an * r
Sn – a1 = Sn * r – an * r → an * r – a1 = Sn * r – Sn → an * r – a1 = Sn(r – 1)
Sn = (an * r – a1)/(r – 1) → Sn = (a1 * rn-1 * r – a1)/(r – 1) → Sn = (a1 * rn – a1)/(r – 1)
Sn = a1 (rn – 1)/(r – 1); LQQD
Ejercicios
1) Calcula la suma de los 10 primeros términos de una progresión geométrica en la cual a1 = 5 y r = - 2
2) Determina los 9 primeros términos de una progresión geométrica en que a1 = 3 y r = 2
3) La suma de los sietes primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Calcula el primero y el séptimo término.
Suma de los “n” términos de una progresión geométrica decreciente
Una progresión geométrica es decreciente si se cumple que la razón es mayor que cero y menor que uno, 0 < r < 1.
Se sabe que la suma de los términos de una progresión geométrica (creciente o decreciente) finita. Sn = a1 (rn – 1)/(r – 1), si el numerador y el denominador se multiplican por( – 1) la expresión Sn = a1 (rn – 1)/(r – 1) se transforma en Sn = a1 (1 – rn)/(1 – r)
Con esta misma relación se puede calcular una progresión geométrica infinita decreciente, cuando el valor de la razón es menor en valor absoluto que 1. │r│ < 1. A medida que el número de términos (n) crece rn se hace cada vez más pequeño, que puede ser aproximadamente cero rn = 0. Por ejemplo si r = 1/5, entonces:
Si n = 1 → r1 = 0.2 Si n = 2 → r1 = 1/52 = 0.04
Si n = 3 → r1 = 1/53 = 0.008 Si n = 4 → r1 = 1/54 = 0.0016
Si n = 5 → r1 = 1/55 = 0.00032 Si n = 6 → r1 = 1/56 = 0.000064
Se puede observar que cuando n crece, r tiende cero. En este caso la expresión se transforma en:
Sn = a1 (1 – rn)/(1 – r) → Sn = a1 (1 – 0)/(1 – r) → Sn = a1 (1)/(1 – r) → Sn = a1 /(1 – r)
Ejemplo: calcular el séptimo término, la suma ochos primeros término y la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente donde a1 = 6 y r = 1/3.
Datos: a1 = 6; r = 1/3; a5 y Sn .
a) a7 = a1 * rn-1 → a7 = 6 * (1/3)7-1 → a7 = 6 * (1/3)6 → a7 = 6 * 1/729
a7 = 6/729 → a7 = 0.008
b) S8 = a1 (1 – rn)/(1 – r) → S8 = 6 * (1 – (1/3)8)/(1 – 1/3)
S8 = 6 * (1 – 1/6561)/(1 – 0.33) → S8 = 6 * (0.99)/(0.67)
S8 = 6 * (1.48) → S8 = 8.88
c) Sn = a1 /(1 – r) → Sn = 6 /(1 – 1/3) → Sn = 6 /(0.67) → Sn = 8.96
Ejercicios:
1) Calcula la suma de los 5 primeros términos y la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica en la que a1 = 1000 y a3 = 40.
2) En una progresión geométrica el primer término es 4 y la razón es 1/8. Determina:
a) El 4to término b) La suma de los 4 primeros términos c) La suma de sus infinitos términos.
3) Hallar la suma de los infinitos términos de las siguientes progresiones geométricas.
a) a1 = 4 y r = 1/3 b) a1 = 17 y r = 95/100 c) 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,……… d) 90, - 30, 10, - 10/3, 10/9,………
Producto de los términos de una progresión geométrica
Sea la progresión geométrica: 1, 5, 25,…….., 3125, 15625, 78125
Los términos equidistantes son:a1 = 1 y an = 78125; a2 = 5 y an-1= 15625; a3 = 25 y an-2 = 3125.
a1 * an = 1 * 78125 = 78125; a2 * an-1 = 5 * 15625 = 78125
a3 * an-2 = 25 * 3125 = 78125
………………………………………..............................................
an * a1 = 78125 * 1 = 78125; an-1 * a2 = 15625 * 5 = 78125
an-2 * a3 = 3125 = 78125
Se puede observar que los productos equidistantes de los extremos son iguales.
Demostración
Pn = a1 * a2 …….. an-1 * an (I) ⇒ Pn = an * an-1 ……… a2 * a1 (II) el orden los factores no altera el producto
Multiplicar I Y II ⇒ (Pn)(Pn) = (a1 * a2)( an * an-1)………..( an-1 * an)( a2 * a1)
Los productos de los términos equidistantes son iguales, por tanto
Pn2 = (a1 * an)(a1 * an)………….(a1 * an)(a1 * an) ⇒ Pn2 = (a1 * an)n ► Pn =± [(a1 * an)n]1/2
En general en una progresión geométrica el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos elevado al número de términos.
Dada la progresión 2, 6, 18, 54, 162. El producto de los términos es; 2 * 6 * 18 * 54 * 162 = 1889568.
Si se aplica la fórmula del producto de una progresión geométrica el resultado debe ser el mismo.
Pn =± [(a1 * an)n]1/2 → Pn =± [(2 * 162)5]1/2 → Pn = [(324)5]1/2 ⇒ Pn =± [3570467226624]1/2 → Pn = +1889568.
Positivo porque todos los términos de la progresión son positivos.
Ejercicios:
1) Determinar el producto de los veinte primeros términos de la progresión 1/16, 1/8, 1/4, 1/2,………
2) Hallar el producto de los siete primeros términos de la progresión 1, - 2, 4, - 8,…………
3) Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, .......
4) En una progresión geométrica de primer término 4 y razón 3, la suma de dos términos consecutivos es 1296 y el producto de estos mismos términos 314928¿Cuáles son estos dos términos consecutivos?