La hipérbola y Ecuaciones

Cónica: La hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que su diferencia a dos puntos fijos, llamados focos es constante. │PF´- PF│= 2a

Grafica 1

Elementos importantes:

1. Eje transverso esla recta que contiene a los focos (F´F)
Eje conjugado esla recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje transverso (B´B).

3. Centro de la hipérbola es punto de intersección de los ejes transverso y conjugado.

4. Vértices son los puntos de la hipérbola que pertenecen al eje transverso y equidistan del centro (V´V)

5. Foco es la distancia del centro a uno de los puntos fijo, se representa por c. también se le llama eje semitransverso.

6. Las asíntotas son las rectas simétricas a las ramas de la hipérbola y que pasan por el centro.

7. Excentricidad: es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.

Su cálculo viene dado por la expresión e = c/a; e > 1

8. La hipérbola tiene asociadas dos rectas, llamadas asíntotas que son dos líneas rectas que, prolongadas, se acercan continuamente a ambas curvas sin llegar jamás a encontrarlas.

Los elementos más relevantes de la hipérbola son:

a) Centro C(h,k) c) Foco F´F d) Vértices V´V

b) Eje transverso 2a e) Eje conjugado 2b f) Lado recto LR = 2b²/a

Las asíntotas tienen por ecuaciones:

1. Si el eje Transverso es paralelo al eje “X”, la pendiente es m = b/a y tiene por ecuación y – k = ±m(x – h)

2. Si el eje Transverso es paralelo al eje “Y”, la pendiente es m = a/b y tiene por ecuación y – k = ±m(x – h)

Notas:a < c; a > 0

Es necesario conocer:

a) centro de la hipérbola C(h,k)

b) Tipo de hipérbola (horizontal o vertical)

c) Valor semieje transverso ( a )

d) Valor semieje conjugado ( b )

e) Valor de los focos

Ecuación de una hipérbola horizontal con centro en el origen.

Si el centro está en el origen C(0,0) y el semieje focal sobre el eje “X” la hipérbola es horizontal y la ecuación es x²/a² – y²/b² = 1

El término de la ecuación que contiene al semieje transverso es siempre positivo

Ejemplo:

1. Dada la ecuación x²/25 – y²/16 = 1, determina los elementos y hacer la gráfica.

a) Centro C(0,0)

b) Semieje transverso a² = 25 → √a² = ± √25 → a = ± 5

c) Semieje conjugado b² = 16 → √b² = ±√16 → b = ± 4

d) Semieje focal, por Pitágoras se calcula c

c² = a² + b² → c² = (5)² + (4)²

c² = 25 + 16 → c² = 41

√c²= ±√41 → c = 6.4

a) Coordenadas de los Vértices V´V(±a,0) → V´V(±5,0)

b) Coordenadas de los focos F´F(±c,0) → F´F(±6.4,0)

c) Eje transverso 2a = 2(5) → 2a = 10

d) Eje conjugado 2b = 2(4) → 2b = 8

e) Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje transverso y que pasa por los focos. Se determina con la expresión LR = 2b²/a.

LR = 2b²/a → LR = 2(4)²/5

LR = 2(16)/5 → LR = 32/5 → LR = 6.4
a) Excentricidad

e = c/a → e = 6.4/5 → e = 1.28

Gráfica 2

Asíntotas

Para determinar las ecuaciones de las asíntotas se calcula 1ro la pendiente de cada recta que son las diagonales del rectángulo.

a) Como el eje Transverso es paralelo al eje “X”. la ecuación de la asíntota es

y – k = ±m(x – h) donde m = b/a

m = b/a → m = 4/5

y – k = +m(x – h) como el centro es C(0,0), entonces h = 0 y k = 0

y – 0 = 4/5(x - 0) → y = 4/5(x)

y = 4x/5 → 5y = 4x → 4x – 5y = 0

b) Y – k = -m(x – h) → y – 0 = - 4/5(x – 0)

Y = - 4/5(x) → y = -4x/5

5y = - 4x → 4x + 5y = 0

2. Hallar la ecuación ordinaria, las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas, lado recto, la excentricidad y hacer gráfica de la hipérbola 9x² - 16y² = 144.

En este caso se divide toda la ecuación por 144 para hacer el 2do miembro 1.

9x²/144 – 16y²/144 = 144/144 → x²/16 – y²/9 = 1

La hipérbola es horizontal, ya que x²/16 es positiva y la expresión que contiene al semieje transverso es la positiva.

a2 = 16 → √a2 = ±√16 → a = ± 4 b2 = 9 → √b2 = ±√9 → b = ±3

a) Las coordenadas de los vértices son:

V(a, 0) → V (4,0); V´ (- a, 0) → V´ (- 4,0)

Por el teorema de Pitágoras se calcula c

c² = a² + b² → c² = (4)² + (3)²

c² = 16 + 9 → c² = 25

√c² = ±√25 → c = ±5

b) Coordenadas de los focos

F (c, 0) → F (5,0); F´(-c,0) → F´(- 5,0)

c) Lado recto

LR = 2b²/a → LR = 2(3)²

LR = 2(9)/4 → LR = 18/4 → LR = 4.5 d) Excentricidad

e = c/a → LR = 5/4 → LR = 1.25

e) Ecuaciones de las asíntotas

1. El eje Transverso es paralelo al eje “X”.

Y – k = m(x – h) como el centro C(0,0), entonces h = 0 y k = 0

m = b/a → m = 3/4

y – 0 = ¾(x – 0) → y = ¾(x)

y = 3x/4 → 4y = 3x → 3x – 4y = 0

2. Y – k = -m(x – h); m = b/a → m = -3/4

Y – 0 = -3/4(x – 0) → y = -3/4(x)

Y = -3x/4 → 4y = -3x → 3x + 4y = 0

Gráfica 3

Ejercicios

1. Grafique cada hipérbola. Determine: coordenadas del centro, los focos, vértices, excentricidad, lado recto y deduzca las ecuaciones de las asíntotas.

a) X²/25 – y²/9 = 1 c) x²/12 – y²/4 = 1 e) x²/16 – y²/25 = 1

b) X²/4 – y²/9 = 1 d) x² – y²/9 = 1 f) x²/9 – y² = 1

2. Escriba en su forma ordinaria, la ecuación de la hipérbola que tenga las propiedades citadas.

a) Centro C(0,0); focos F(±5,0) y vértices V(±3,0)

b) Centro C(0,0); asíntotas y = ±3/4(x); vértices V(±2,0)

c) Asíntotas y = 8/11(x); focos F(±12,0)

3. Hallar la ecuación ordinaria, las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas, lado recto, la excentricidad y hacer gráfica de la hipérbola.

a) 4x² – 9y² = 36 b) 9x² – 27y² = 81 c) 45x²– 15y² = 225

4. Deduzca la ecuación de la hipérbola dada.

Ecuación de una hipérbola vertical con centro en el origen.

1. En este caso el eje transverso es el eje “Y”, el eje conjugado es el eje “X”

2. Las características son las mismas que en la hipérbola horizontal.

3. El termino positivo es el que contiene la variable “y”

Si el centro está en el origen C(0,0), el semieje focal esta sobre el eje “y” la hipérbola es vertical y su ecuación es y²/a² – x²/b² = 1

b² = 11 → √b² = ±√11 → b = ± 3.3

a) Lado recto

LR = 2b²/a → 2(3.3)²/5

LR = 2(10.89)/5 → LR = 21.78/5 → LR = 4.4

b) Excentricidad

e = c/a → e = 6/5 → e = 1.2

Ejemplos1

Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices V(0,± 5) y focos F(0,± 6)

a) El centro de una hipérbola se encuentra en la mitad entre los vértices, en este caso aunque no esté indicado es el punto C(0,0), ya que estará en la mitad entre - 5 y 5

b) Los focos son F(0, 6) y F´(0,- 6).

El eje donde se encuentran los focos es el eje focal, indica si la hipérbola es horizontal o vertical.

c) En este caso la hipérbola es vertical, ya que los vértices y los focos se encuentran sobre el eje “Y”.

d) Eje transverso, como la distancia entre el centro y el vértice se le llama “semieje transverso” (a = 5). El eje transverso es el eje “Y”, ya que los vértices están sobre él.

e) El valor del eje conjugado se puede calcular usando el teorema de Pitágoras. C² = a² + b² → (6)² = (5)² + (b)²

36 = 25 + b² → b² = 36 – 25

b² = 11 → √b² = ±√11 → b = ± 3.3

f) Lado recto

LR = 2b²/a → 2(3.3)²/5

LR = 2(10.89)/5 → LR = 21.78/5 → LR = 4.4

g) Excentricidad

h) Ecuación de la hipérbola

e = c/a → e = 6/5 → e = 1.2

Debido que el eje focal de la hipérbola se encuentra sobre el eje de la “Y” y el centro es el punto C(0,0), le corresponde la ecuación y²/a² – x²/b² = 1.

Para obtener la ecuación basta con sustituir a y b por sus valores.

Y²/(5)² – x²/(3.3)² = 1 → y²/25 – x²/11 = 1

Si se desea la ecuación general de la hipérbola, entonces en la ecuación ordinaria:

a) Se multiplican los denominadores

b) Se multiplican en diagonal numerador y denominador, conservando el signo

c) Finalmente se mueve el denominador común al lado derecho.

y²/25 – x²/11 = 1 → (11y² – 25x²)/275 = 1

11y² – 25x² = 275 → 11y² – 25x² – 275 = 0

Se sabe que el término de la ecuación que contiene el foco es siempre positivo

Ecuaciones de las asíntotas

1. Como el eje Transverso es paralelo al eje “Y”, y – k = ±m(x – h) y h = 0; k = 0 por que C(0,0).
m = a/b → m = 5/3.3

Y – 0 = 5/3.3(x - 0) → y = 5/3.3(x)

Y = 5x/3.3 → 3.3y = 5x → 5x – 3.3y = 0

2. Y – k = -m(x-h) → y – 0 = -5/3.3(x - 0)

y = -5/3.3(x) → y = -5x/3.3

3.3y = -5x → 5x – 3.3y = 0

Ejercicios

1. Grafique cada hipérbola y determine: coordenadas del centro, los focos, vértices, excentricidad, lado recto y deduzca las ecuaciones de las asíntotas.

a) y²/36 – x²/9 = 1 c) y²/6 – x²/25 = 1 e) y²/25 – x²/16 = 1

b) y²/4 – x²/9 = 1 d) y² – x²/9 = 1 f) y²/9 – x² = 1

2. Hallar la ecuación ordinaria, las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas, lado recto, la excentricidad y hacer gráfica de la hipérbola.

9y² – 4x² = 36 b) 24y² – 8x² = 72 c) 18y² – 15x² = 54

3. Escriba en su forma ordinaria, la ecuación de la hipérbola que tenga las propiedades citadas.

a) vértices V(0,± 2) y cuyas asíntotas y = ±1/2x.

b) Centro C(0,0); focos F(0,± 6) y vértices V(0,± 4)

c) Centro C(0,0); focos F(0,± 4) y vértices V(0,± 1)

d) Centro C(0,0); asíntotas y = ± ¾(x); vértices V(0,± 2)

e) Asíntotas y = 8/15(x); focos F(0, 17)

4) Deduzca la ecuación de la hipérbola dada.