Inecuaciones en una variable
Las desigualdades son expresiones que utilizan uno de los signos: <, >, ≤, ≥.
Una inecuación es cualquier desigualdad que contiene una variable, por ejemplo son inecuaciones: x – 5 < 6; 2x + 4 > 4x – 6; 3(x – 2) ≤ 6.
Propiedades de las desigualdades
I) Propiedades de orden de la suma y la resta
Para todos los números reales a, b y c:
♦ Si a < b, entonces a + c < b + c ó Si a < b, entonces a – c < b – c
♦ Si a > b, entonces a + c > b + c ó Si a > b, entonces a – c > b – c
II) Propiedades de orden de la multiplicación y de la división
♦ Si a < b y c es positivo, entonces ac < bc ó a/c < b/c
♦ Si a < b y c es negativo, entonces ac > bc ó a/c > b/c
La solución de una inecuación: son todos aquellos valores de la variable en el conjunto de los números reales que satisfacen la inecuación.
Si la desigualdad es del tipo < o > se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.
1) Resolver x – 5 < 6
Solución algebraica
x – 5 < 6 sumando 5 en ambos miembros → x – 5 + 5 < 6 + 5 resulta x < 11. ⇒ conjunto solución C.S = { x ϵ R │x < 11}
En la recta numérica
En forma de intervalo (- ∞, 11)
El intervalo debe ser abierto por que no incluye el extremo derecho y el infinito siempre es abierto.
Prueba
Se prueba con valores que se encuentran en el intervalo y fuera del intervalo. Para x = - 1 → - 1 – 5 < 6 → - 6 < 6 V; para x = 3 → 3 – 5 < 6 → - 2 < 6 V
Para x = 11 → 11 – 5 < 6 → 6 < 6 F para x = 14 → 14 – 5 < 6 → 9 < 6 F
Se puede observar que para un valor de x = 11 ó mayor que 11 no satisface la inecuación, 11 es un punto crítico de la inecuación y no se rellena por que la inecuación no incluye el signo de =.
Solución gráfica
Se convierte en función cada miembro de la expresión y se grafica cada función en un sistema de coordenadas.
Así y1 = x – 5; y2 = 9 y1 = x – 5 Para x = 0 → y1 = 0 – 5 → y1 = – 5 ⇒ A(0,5); Para x = 5 → y1 = x – 5 → y1 = 5 – 5 → y1 = 0 ⇒ B(5,0)
Se puede observar que verifica el conjunto de que los valores de x deben ser menores que 11.
1) Resolver – 4 ≤ 2x + 2 ≤ 14
Solución algebraica
El objetivo es determinar el valor de x. Para eliminar 2 se resta 2 en los extremos y en el centro
– 4 – 2 ≤ 2x + 2 – 2 ≤ 14 – 2 → - 6 ≤ 2x ≤ 12, se aplica la propiedad de la división como el coeficiente de la x es positivo, entonces -6 /2 ≤ 2x/2 ≤ 12/2 → -3 ≤ x ≤ 6
Conjunto solución C.S = { x ϵ R │-3 ≤ x ≤ 6}
En la recta numérica
En forma de intervalo [- 3, 6], cerrado por que incluye los extremos.
1) Resolver (2x + 3)/(x -2) > 5
Se debe hacer 0 el miembro derecho, moviendo al primer miembro el 5 y realizando la operación indicada.
[(2x + 5)/(x – 2)] – 5 > 0 → [(2x + 5)/(x – 2)] – 5/1 > 0, el mínimo común denominador de x – 2 y 1 se divide entre cada denominador y se multiplica por su respectivo numerador. [2x + 5 – 5(x – 2)]/(x – 2) > 0 → (2x + 5 – 5x + 10)/(x- 2) > 0 reduciendo términos semejantes:
(- 3x + 15)/(x – 2) > 0 en este tramo se determinan los puntos críticos del numerador y el denominador, igualando a cero cada factor.
Puntos críticos
Numerador Denominador
-3x + 15 = 0 x – 2 = 0
-3x = -15 → x = -15/-3 → x = 5 x = 2
En la recta de números reales se colocan cada uno de los puntos críticos, que determinan tres intervalos en este caso.
Se hace la prueba de los signos del numerador y el denominador en la expresión (- 3x + 15)/(x – 2) > 0, tomando valores de x que se encuentren en cada uno de los intervalos; los valores de los puntos críticos no deben tomarse porque son los que hacen cero el numerador y el denominador.
Nota: a) El punto crítico del denominador es siempre abierto. b) El intervalo que comienza termina en infinito es siempre abiertos.
c) Para la desigualdad >, el signo debe ser positivo y para la desigualdad <, el signo debe ser negativo.
C.S = x ϵ (2, 5)
4) Resolver (4x +8)/(3x - 6) < 8
Solución
[(4x +8)/(3x - 6)] – 8 < 0 → [(4x +8)/(3x - 6)] – 8/1 < 0 → [4x + 8 – 8(3x - 6)]/(3x - 6) < 0 → 4x + 8 – 24x + 48)/(3x - 6) < 0 → (- 20x + 56)/(3x - 6) < 0
Puntos Críticos
Numerador Denominador
-20x + 56 = 0 3x - 6 = 0
-20x = - 56 → x = -19/-20 → x = 56/20 3x = 6 → x = 6/3 → x = 2En la recta real
Ejercicios:
I) Exprese cada desigualdad en notación de intervalo: a) – 5 ≤ x ≤ 2; b) 0 < x < 7; c) 3 ≤ x ≤ 8; d) x ≥ - 1; e) x < 2
II) Exprese cada intervalo como desigualdad y grafique en la recta numérica: a) (- 3, - 1); b) (- 3, 2]; c) [-5, 4); d) [0, 6]; e) (-∞, 2]; f) [4, +∞)
III) Resuelve; escribe el conjunto solución de las inecuaciones y representa en recta real:
a) 2x + 4 > 4x – 6; b) 3(x – 2) ≤ 12; c) (6x + 9)/5 ≤ 2x – 4; d) 3x + 11 > 7 e) (– x + 4)/2 > (x – 2 )/3; f) (x/2) – 5 > (x/4) + 3;
g) 5(x + 2) ≥ 2(x – 4); h) - 5 < 2x – 3 ≤ 7 i) (- x + 16)/x + 5 ≥ 2 j) (3x – 7)/(2x – 11) < 10 k) (x – 2)/(x + 3) ≥ 0 m) (x + 4)/(x + 2) > 1/3
IV) Resolución de problemas:
1) Un canal de riego es alimentado por tres fuentes, una de caudal fijo que aporta 100 m3/seg y otras dos de caudales variables. Una de esta dos fuentes tiene un caudal que es el triple de la otra. Si el canal esta diseñado para transportal agua, como mucho, a razón de 460 m3/seg, ¿qué cantidad máxima de agua debe aportal cada una de las fuentes?
2) La empresa Fénix S.A. tiene una nomina mensual de nomenos RD$ 150,000. El monto global de lo que se paga a sus cuadros medios y superiores es de un 44% y de un 56% respectivamente de lo percibido globalmente por sus operarios. ¿Cuál es ek mínimo destinado a cada categoría ocupacional?
3) ¿Qué valores de x permiten que un rectángulo de base 2x + 1 y de ancho x tenga un perímetro menor que el de un cuadrado de 17 cm de lados?
4) Un camión carga 4 cajas de igual peso y un paquete de 58 kg. ¿Entre cuales valores puede estar el peso de cada caja sabiendo que la carga máxima del camión es de 1400 kg?
una fabrica de automóviles planea vender un mínimo de 5000 millones al sacar al mercado 4000 vehículos del modelo X, 6000 del modelo Y y 5000 del modelo Z. Si el precio del modelo Y es de RD$20,000por ecima del modelo X y el precio del modelo Z es de RD$45,000 por debajo del precio del modelo Y, ¿cuál es el precio mínimo de cada modelo?
5) Un ascensor esta diseñado para una capacidad máxima de 400 kg. Si se estima el peso prmedio de sus usuarios en 50 kg, ¿Cuál es máximo de personas que puede transportar el ascensor?
6) Un solar tiene como mucho un área de 820 m2. Esta dividido en tres partes A, B y C. B tiene el doble de área de A y C excede en 10 m2 el triple del área de B. ¿Cuál es el área máxima de las partesA, B y C?
Desigualdades con valor absoluto.
El valor absoluto de un número real x es la distancia de dicho número al origen y se representa por │x│.
Para un numero positivo x, │x│ = x y para un número negativo x, │x│ = - x. esto es │2│ = 2; │- 2│ = -(- 2) = +2.
En general │a│ = +a si a ≥ 0; │a│ = - a si a < 0.
♦ │x│< k se representa por dos inecuaciones: - k < x ∩ x < k , es válido también para ≤. Esto es – k < x < k
♦ │x│ > k se representa por dos inecuaciones: - k > x U x > k, es válido también para ≥. Esto es x < – k ; x > k.
Ejemplos:
1) │x│< 3 → - 3 < x ∩ x < 3 → - 3 < x < 3; C.S = (- 3, 3). Ilustación 1
2) │x│> 3 → x < - 3 U x > 3 → - 3 > x > 3; C.S = x ϵ (-∞, - 3) U (3, + ∞) Ilustración 2
3) |x - 2│≥ 7 → x – 2 ≤ - 7; x – 2 ≥ 7
1º x – 2 ≤ - 7 → x ≤ - 7 + 2 ⇒ x ≤ - 5
2º x – 2 ≥ 7 → x ≥ 7 + 2 ⇒ x ≥ 9. C.S = x ϵ (-∞, - 5] U [9, + ∞) ilustración 3
4) │2x - 3│ < 5
1º - 5 < 2x – 3 → - 5 + 3 < 2x → -2 < 2x → x > -2/2 ⇒ x > - 1
2º 2x – 3 < 5 → 2x < 5 + 3 → 2x < 8 → x < 8/2 ⇒ x < 4 C.S = x ϵ (- 1, 4) Ilustración 4
5) │ (2x – 1)/(1 + 2x)│ > 3
1º (2x – 1)/(1 + 2x)< - 3 → [(2x – 1)/(1 + 2x)] + 3 < 0 → [(2x – 1)/(1 + 2x)] + 3/1 < 0 → [(2x – 1 + 3(1 + 2x)]/(1 + 2x) < 0 (2x – 1 + 3 + 6x)/(1 + 2x) < 0 ⇒ (8x + 2)/(1 + 2x) < 0
Puntos críticos: Numerador Denominador
8x + 2 = 0 1 + 2x = 0
8x = -2 → x = -2/8 → x = - 1/4 2x = - 1 → x = -1/2
2º (2x – 1)/(1 + 2x) > 3 → [(2x – 1)/(1 + 2x)] - 3 > 0 → [(2x – 1)/(1 + 2x)] - 3/1 > 0 → [(2x – 1 - 3(1 + 2x)]/(1 + 2x) > 0
(2x – 1 - 3 - 6x)/(1 + 2x) > 0 → (- 4x - 4)/(1 + 2x) > 0
Puntos críticos: Numerador Denominador
-4x - 4 = 0 1 + 2x = 0
-4x = 4 → x = 4/-4 → x = - 1 2x = - 1 → x = -1/2 C.S = x ϵ (- 1, - 1/2) U (- 1/2, - 1/4)
Ejercicios:
I) Clasifique como verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones.
a) - │- 1/5│ = 1/5 b) │- 1/3│ = 3 c) │x/y│ = │x│*1/│y│ d) ││x││ = │x│
II) Despeje x, trace la gráfica:
a) │3x – 6│ < 9 b) │2 – x│≤ 3 c) │2x - 1│ > 7 d) │2 + 3x│ ≥ 4 e) │2x + 3│ > 5
III) Resolver y graficar cada inecuación:
a) │(2x – 1)/(x + 3) │≤ 1 b) │3 – 2x│< │x + 4│ c) │(x + 1)/(x – 2) │ > 2
d) │(3x – 1)/(x +7)│ < 3 e) │(3x + 5)/x│ ≥ 2 f) │1 – x/3│ < 1
a) El ( - negativos) representa la desigualdad estricta < y el ( + positivos) representa la desigualdad estricta >.
b) El signo ≤ representa la desigualdad amplia que incluye la frontera por ( =, - negativo)
c) El signo ≥ representa la desigualdad amplia que incluye la frontera por ( =,+ positivo
Ejemplos 1: Resolver x2 − 6x > - 8. → x2 − 6x > - 8 → x2 − 6x + 8 > 0
1) Factorizar la expresión x2 − 6x + 8 > 0,
Se descompone la expresión en dos binomios factores (x – )(x – ) >0
Se descompone el +8 en dos factores que su producto sea +8 y su suma sea – 6 ⇒ (x - 4)(x - 2) > 0
2) Estudiar los signos de los factores y del polinomio:
a) Los intervalos en rojo representa valores negativos b) Los intervalos en azul representa valores positivos
|
Prueba
|
Intervalos
|
(x – 2)
|
(x – 4)
|
(x – 2)(x – 4) > 0
|
|
X = 0
|
(-∞, 2)
|
–
|
-
|
(–)(–) = +
|
|
X = 3
|
(2, 4)
|
+
|
-
|
(+)(–) = –
|
|
X = 4
|
(4, +∞)
|
+
|
+
|
(+)(+) = +
|
♦ Como la desigualdad pedida es >, el polinomio representa los valores que lo hacen positivo.
♦ Los valores 2 y 4 son los que hacen cero al polinomio no forma parte de la solución porque la desigualdad no incluye las fronteras.
Por tantoC.S = (- ∞, 2) U (4, + ∞)
Ejemplo 2: (x + 3)(x – 5) ≤ -12 → (x + 3)(x – 5) ≤ -12 → (x + 3)(x – 5) + 12 ≤ 0 realizando el producto
x2 + 3x – 5x – 15 +12 ≤ 0 → x2 – 2x – 3 ≤ 0 factorizando (x – 3)(x + 1) ≤ 0
|
Prueba
|
Intervalos
|
(x – 3)
|
(x + 1)
|
(x – 3)(x + 1) ≤ 0
|
|
X = -2
|
(-∞, - 1]
|
–
|
-
|
(–)(–) = +
|
|
X = 0
|
[- 1, 3]
|
-
|
+
|
(-)(+) = –
|
|
X = 5
|
[3, +∞)
|
+
|
+
|
(+)(+) = +
|
El conjunto solución está formado por los valores del intervalos cerrado de -1 a 3 que son los valores que hacen negativa la expresión. C.S = x ϵ [- 1, 3]