Forma trigonométrica de un número complejo

Forma trigonométrica de un número complejo.
Sea el complejo Z = r_αla forma trigonométrica es Z = r(Cosα + iSenα). Si el complejo esta dado en forma binómica, entonces se lleva primero a la forma polar y luego a la forma trigonométrica.
Forma polar                                           Forma trigonométrica
a) Z = 6_35º                 →                        Z = 6(Cos_35º + iSen_35º)
b) Z = 6_35º                 →                        Z = 15(Cos_60º + iSen_60º)
c) Z = -4 + 7i             →                         Z = r(Cosα + iSenα)
   Z = 8.06_119.74º          →                         Z = 8.06 (Cos119.74º + iSen119.74º)
En el caso “c” debe llevarse primero a la forma polar                          
Módulo                                                                 Argumento
r = (x² + y²)^1/2  →  r = ((-4)² + (7)²)^1/2                     α´ = Tan ^{– 1}(y/x)  →  α´ = Tan ^{– 1}(7/4)
r = (x² + y²)^1/2  →  r = (16 + 49)^1/2                         α´ = Tan ^{– 1}(b/a)  →  α´ = Tan ^{– 1}(1.75)
r = (x² + y²)^1/2  →  r = (65)^1/2  →  r = 8.06              α´ = Tan ^{– 1}(b/a)  →  α´ = 60.26º
Como α´es del 2do cuadrante se tiene           α = 180 – α´  →  α = 180 – 60.26º  →  α = 119.74º
Las reglas aplicadas a las operaciones en la forma polar son las mismas que para la forma trigonométrica.
1. [5(Cos20º + iSen20º)][2(Cos50º + iSen50º)] = (5 * 2)[Cos(20º + 50º) + Sen(20º + 50º)]
[5(Cos20º + iSen20º)][2(Cos50º + iSen50º)] = 10(Cos70º + iSen70º)
[5(Cos20º + iSen20º)][2(Cos50º + iSen50º)] = 10(0.34 + 0.94i)  →  [5(Cos20º + iSen20º)][2(Cos50º + iSen50º)] = 3.4 + 9.4i
2. [8(Cos80º + iSen80º)]/[4(Cos60º + iSen60º)] = (8/4)[Cos(80º - 60º) + iSen(80º - 60º)]
[8(Cos80º + iSen80º)]/[4(Cos60º + iSen60º)] = 2(Cos20º + iSen20º)
[8(Cos80º + iSen80º)]/[4(Cos60º + iSen60º)] = 2(0.94 + 0.34i)  →  [8(Cos80º + iSen80º)]/[4(Cos60º + iSen60º)] = 1.88 + 0.68i
3. [4(Cos30º + iSen30º)]³ = 4³ [Cos(3 * 30º) + iSen(3 * 30º)]  →  [4(Cos30º + iSen30º)]³ = 64 (Cos90º + iSen90º)
[4(Cos30º + iSen30º)]³ = 64(0 + i)  →  [4(Cos30º + iSen30º)]³ = 64i

Como expresar un complejo en forma trigonométrica en forma rectangular.
En el complejo Z = r(cosα + isenα), rcos α = a es la parte real y r(isen α) = b es la parte imaginaria, Por tanto Z en forma rectangular es a + bi.
Ejemplo Z = 3(cos60º + isen60º) en forma rectangular es:
a = 3(cos60º) → a = 3(0.5)  →  a = 1.5;   b = 3(isen60º) → b = 3(0.87i) → b = 2.61i  
 Z = 3(cos60º + isen60º) en forma rectangular es  Z = 1.5 + 2.61i

Efectúa las siguientes operaciones con complejos en forma trigonométrica.
1. [3(Cos60º + iSen60º)]²[4(Cos30º + iSen30º)]³        2. [8(Cos108º + iSen108º)]/[5(Cos36º + iSen36º)]² 

Potencia fraccionaria de un número complejo (radicación).
Si “n” es un número cualquiera, entonces
Z^1/n = [r(Cos α + iSen α)]^1/n   →  Z^1/n = r^1/n[Cos(1/n * α) + iSen(1/n * α)]
Si se suma o resta a un ángulo un múltiplo de 360º la ecuación no se altera
Z^1/n = r^1/n[Cos1/n(α + 2∏k) + iSen1/n(α + 2∏k)]  →  Z^1/n = r^1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n]
(Z)^1/n =( r)^1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n], donde k = 0,1,2,3,…….,n – 1. Esta ecuación es llamada “Teorema de Moivre”
Resumen de formas y formulas importantes:
1. Forma binómica      →    Z = a + bi;   2. Forma de par ordenado   →    Z = (a, b);    
 3. Forma polar    →    Z = r_α;         4. Forma trigonométrica     →    Z = r(Cos α + i Sen α)  
Angulo de acuerdo al cuadrante en que este situado el número complejo:  
α = Tan – 1(y/x) para I cuadrante;      α´ = Tan – 1(y/x)   →   α = 180º - α´  para II cuadrante
α´ = Tan – 1(y/x)   →   α = 180º + α´  para III cuadrante;       α´ = Tan – 1(y/x)   →   α = 360º - α´  para IV cuadrante.
Ejemplos:
1.    Hallar la raíz cuadrada de Z = 4(Cos 60º + iSen 60º);   Se sabe que Z^1/n = r^1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n]
Z^1/2 = 4^1/2[Cos (α + 2∏k)/2 + iSen (α + 2∏k)/2] como n – 1 = 2 – 1 = 1 ;  k = 0
r₀ = 2[Cos (60º + 2∏ * 0)/2 + iSen (60º + 2∏ * 0)/2]
r₀ = 2[Cos (60º + 0)/2 + iSen (60º + 0)/2]  →  Z^1/n = 2[Cos (60º /2) + iSen (60º)/2]
r₀ = 2[Cos 30º + iSen 30º]  →  Z^1/2 = 2[0.87 + 0.5i]  ⇒  r₀ = 1.74 + i
Para k = 1
r₁ = 2[Cos (60º + 360º * 1)/2 + iSen (60º + 360º * 1)/2]
r₁ = 2[Cos (60º + 360º)/2 + iSen (60º + 360º)/2]  →  r₁ = 2[Cos420º/2 + iSen420º/2]
r₁ = 2[Cos 210º + iSen 210º]  →  r₁ = 2[- 0.87 - 0.5i]   →   r₁ = - 1.74 – i  Ilustración 1
                     
2. Encuentra las tres raíces del complejo Z = - 3 + 5i.  Primero debe expresarse el complejo en la forma trigonométrica.
Módulo                                                                       Argumento
r = (x² + y²)^1/2  →  r = ((-3)² + (5)²)^1/2                           α´ = Tan ^{– 1}(y/x)  →  α´ = Tan ^{– 1}(5/3)
r = (x² + y²)^1/2  →  r = (9 + 25)^1/2                                 α´ = Tan ^{– 1}(b/a)  →  α´ = Tan ^{– 1}(1.66)
r = (x² + y²)^1/2  →  r = (34)^1/2  →  r = 5.83                    α´ = Tan ^{– 1}(b/a)  →  α´ = 59º
 Como α´es del 2do cuadrante  α = 180 – α´  →      α = 180 – 59º  →  α = 121º
Forma polar   Z = r_α   →   Z = 5.83_121º  ;    Forma trigonométrica  Z = 5.83 (Cos121º iSen121º)  
Z^1/3 = [5.83 (Cos121º + iSen121º)]^1/3   como n – 1 = 3 – 1 = 2  
Z^1/n = r^1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n]  para k = 0
r₀ = 5.83^1/3[Cos (121º + 360º * 0)/3 + iSen (121º + 360º * 0)/3]
r₀ = 5.83^1/3[Cos (121º + 0)/3 + iSen (121º + 0)/3]  →  r₀ = 1.8[Cos 121º/3 + iSen 121º/3]
r₀ = 1.8(Cos 40.33º + iSen 40.33º)  →  r₀ = 1.8[0.76 + 0.65i)  →  r₀ = 1.4 + 1.2i
Para K = 1
r₁ = 5.83^1/3[Cos (121º + 360º * 1)/3 + iSen (121º + 360º * 1)/3]
r₁ = 1.8[Cos (121º + 360º)/3 + iSen (121º + 360º)/3]  →  r₁ = 1.8(Cos 481/3 + iSen 481/3)
r₁ = 1.8(Cos160.33º + iSen 160.33º)  →  r₁ = 1.8(- 0.94 + 0.34i)  →  r₀ = - 1.7 + 0.6i
para k = 2
r₂ = 5.83^1/3[Cos (121º + 360º * 2)/3 + iSen (121º + 360º * 2)/3]
r₂ = 1.8[Cos (121º + 720)/3 + iSen (121º + 720)/3]  →  r₂ = 1.8(Cos 841º/3 + iSen 841º/3]
r2= 1.8(Cos 280.33º + iSen 280.33º)  →  r₂ = 1.8(0.18 + - 0.98i)  →  r₂ = 0.32 – 1.76i     Ilustración 2
3. Determina las tres raíces cúbicas de Z = 8i  →  Z = 0 + 8i, se convierte primero el complejo a la forma trigonométrica
ódulo                                                                           Argumento
r = (x² + y²)^1/2  →  r = ((0)² + (8)²)^1/2             Como la parte real es cero y la parte imaginaria es
r = (x² + y²)^1/2  →  r = (0 + 64)^1/2                   positiva, entonces el ángulo  es de 90º  →  α = 90º.
r = (x² + y²)^1/2  →  r = (64)^1/2  →  r = 8  
Forma polar Z = r_α  →  Z = 8_90º ;     Forma trigonométrica  Z = 8(Cos90º + iSen90º)
n = 3;     r = 8;     α = 90º;    n – 1 = 3 – 1 = 2
Z^1/n = r^1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n]
Para k = 0 
r₀ = 8^1/3[Cos (90º + 360º * 0)/3 + iSen (90º + 360º * 0)/3]
r₀ = 2[Cos (90º + 0)/3 + iSen (90º + 0)/3]  →  r₀ = 2[Cos (90º)/3 + iSen (90º)/3]
r₀ = 2(Cos30º + iSen30º)  →  r₀ = 2(0.87 + 0.5i)  →  r₀ = 1.74 + i
Para k = 1 
r₁ = 8^1/3[Cos (90º + 360º * 1)/3 + iSen (90º + 360º * 1)/3]
r₁ = 2[Cos (90º + 360º)/3 + iSen (90º + 360º)/3]  →  r₁ = 2[Cos (450º)/3 + iSen (450º)/3]
r₁ = 2(Cos150º + iSen150º)  →  r₁ = 2(- 0.87 + 0.5)  →  r₁ = - 1.74 + i
Parak = 2
r₂ = 8^1/3[Cos (90º + 360º * 2)/3 + iSen (90º + 360º * 2)/3]
r₂ = 2[Cos (90º + 720º)/3 + iSen (90º + 720º)/3]  →  r₁ = 2[Cos810º/3 + iSen810º/3]
r₂ = 2(Cos270º + iSen270º)  →  r₁ = 2(0 - 1)  →  r₁ = – 2i   Ilustración 1
                   

1.    Resolver la ecuación Z⁴+16 = 0 → Z⁴  = - 16 → Las soluciones son las raíces cuartas de -16
r = (x² + y²)^1/2  →  r = ((0)² + (16)²)^1/2             Como la parte real es cero y la parte imaginaria es
r = (x² + y²)^1/2  →  r = (0+256)^1/2                   negativa, entonces el ángulo  es de 270º  →  α = 270º.
r = (x² + y²)^1/2  →  r = (256)^1/2  →  r = 16
Forma polar Z = r_α  →  Z = 16_270º
Forma trigonométrica  Z = 16(Cos270º + iSen270º)
n = 4;     r = 16;     α = 270º;    n – 1 = 4 – 1 = 3
Z^1/n = r^1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n]
Para k = 0
r₀ = 16^1/4[Cos (270º + 360º * 0)/4 + iSen (270º + 360º * 0)/4]
r₀ = 2[Cos (270º + 0)/4 + iSen (270º + 0)/4]  →  r₀ = 2[Cos (270º)/4 + iSen (270º)/4]
r₀ = 2(Cos7.5º + iSen67.5º)  →  r₀ = 2(0.38 + 0.92i)  →  r₀ = 0.76 + 1.84i
Para k = 1 
r₁ = 16^1/4[Cos (270º + 360º * 1)/4 + iSen (270º + 360º * 1)/4]
r₁ = 2[Cos (270º + 360º)/4 + iSen (270º + 360º)/4]  →  r₁ = 2[Cos630º/4 + iSen630º/4]
r₁ = 2(Cos157.5º + iSen157.5º)  →  r₁ = 2(- 0.92 + 0.38)  →  r₁ = - 1.84 + 0.76i
Parak = 2
r₂ = 16^1/4[Cos (270º + 360º * 2)/4 + iSen (270º + 360º * 2)/4]
r₂ = 2[Cos (270º + 720º)/4 + iSen (270º + 720º)/4]  →  r₂ = 2[Cos990º/4 + iSen990º/4]
r₂ = 2(Cos247.5º + iSen247.5º)  →  r₂ = 2(- 0.38 - 0.92)  →  r₂ = - 0.76 – 1.84i
Parak = 3
r₃ = 16^1/4[Cos (270º + 360º * 3)/4 + iSen (270º + 360º * 3)/4]
r₃ = 2[Cos (270º + 1080º)/4 + iSen (270º + 1080º)/4]  →  r₃ = 2[Cos1350º/4 + iSen1350º/4]
r₃ = 2(Cos337.5º + iSen337.5º) → r3 = 2(0.92 - 0.38)  →  r₃ = - 0.76 – 1.84i  Ilustración 2
I) Determine las raíces indicadas.
a)    Las raíces cúbicas de 27(cos12º + isen12º)          b)    Las raíces quintas de 32(cos22.5º + isen22.5º)
c)    Las raíces cúbicas de - 4√2 - 4√2i                        d)    Las raíces sextas de – 1 y trace el gráfico
II) Resuelva las ecuaciones dadas, exprese el resultado en formas rectangular.
a)    Z³ + 27 = 0,                b)   Z⁴ + 1 – √3 i = 0,            c) Z⁴ + 64i = 0