Geometría Euclidiana y no Euclidianas
GEOMETRÍAEUCLIDIANA VS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS
Introducción
El fundamento de la geometría del griego Euclides (330-
Durante más de 2 mil años sólo se estudiaba la geometría euclidiana.
Rectas Paralelas
“Dos rectas se dicen paralelas si estando en un plano no tienen ningún punto en común.”
Posteriormente surgieron otras geometrías diferentes a la de Euclides.
Historia del 5to postulado de Euclides
“Si una secante corta a dos rectas formando a un lado, ángulos interiores cuya suma es menor a dos rectos, las dos rectas suficientemente prolongadas se cortan en ese mismo lado”.
El 5to postulado parece que debiera ser un teorema que debería poderse demostrar partiendo de los demás postulados explícitos de Euclides y de las 28 primeras proposiciones del libro primero de los Elementos.
La demostración fue intentada de manera infructuosa por famosos matemáticos a través de la historia. Entre ellos se encuentran Claudio Tolomeo, Proclo, el persa.
DE JERÓNIMOSACCHERI A BERNARDO RIEMANN
Jerónimo Saccheri matemático jesuita hizo un aporte extraordinario sobre la independencia del 5to postulado, partiendo del cuadrilátero birrectángulo isósceles o cuadrilátero de Saccheri.
“En la hipótesis del ángulo agudo, existe un ángulo XAB, tal que AX no encuentra a BX perpendicular a AB; toda oblicua comprendida en el ángulo XAB encuentra a BX; toda oblicua que forme con AB un ángulo agudo mayor que XAB o un ángulo recto, tiene con BX una perpendicular común a distancia finita.”
GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS.
Geometría de Lobachevski
Nikolai Ivánovich Lobachevski, coincidió con Saccheri en muchas proposiciones que desarrollaban la hipótesis del ángulo agudo. Pero mientras Saccheri se propuso mostrar que la hipótesis del ángulo agudo conduce a una contradicción y debe ser descartada por inadmisible desde el punto de vista lógico, Lobachevski, al desarrollar el sistema de sus teoremas, establece que éste representa una nueva geometría a la cual llamó “imaginaria”
En esta geometría se plantea que: “Por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas." Es la geometría hiperbólica, la cual se desarrolla en una esfera.
La Geometría de Riemann
Bernardo Riemann
La Geometría de Riemann es elíptica y su planteamiento fundamental es que: “por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela”.
La Geometría de Riemann es un complemento necesario de las de Euclides y Lobachevski.
Paralogismos de Euclides y Saccheri
Paralogismo, argumento o razonamiento falso, que se plantea sin una voluntad de engaño.
Aristóteles afirmaba que el paralogismo correspondía a una manera de hablar.
El primer paralogismo que Euclides comete es el de suponer la recta de longitud infinita.
“Si en un triángulo ABC se prolonga un lado BC hasta D, el ángulo exterior ACD es mayor que cualquiera de los ángulos interiores y opuestos al C”.
Independencia del quinto postulado de Euclides
Juan H Lambert (1728-1777) establece la relación de proporcionalidad entre el defecto (o exceso) de la suma de los ángulos de un triangulo respecto de dos rectos en la hipótesis del ángulo agudo (u obtuso) y su área.
Alrededor del 1825 surge la idea de una geometría absoluta, prescindiendo del quinto postulado.
Para entonces el acervo de conocimientos y actitudes matemáticas se había desarrollado ya suficientemente y estaba maduro para que se desprendiera la idea fruto de las geometrías no euclídeas.
Nicolás I. Lovachevski (1793-1830) fue el primero en publicar un desarrollo sistemático de la geometría del ángulo agudo en el Boletín de
Modelos de David Hilbert
Para exponer lo mas importante de toda esa problemática de las geometrías y los postulados. David Hilbert (1862-1943) en su obra Fundamentos de geometría (1899) se basó en que:
“La Geometría plana es bidimensional y a las Geometrías Hiperbólicas o del ángulo agudo y Elíptica o del ángulo obtuso son tridimensionales”,
Sabiendo por definición que un punto elíptico esta constituido por dos puntos euclídeos (no ordenados) Diametralmente opuestos, que las rectas elípticas son los círculos máximos euclideos y que la longitud de esa recta es π.
Como modelo de Geometría elíptica, él toma la superficie de una esfera de radio igual a la unida
(R=1), como el plano elíptico.
El plano elíptico se puede desarrollar o estudiar en la superficie de una semi-esfera si se identifican los puntos elípticos.
Como modelo de la geometría hiperbólica, Tomamos la geometría euclídea sobre la seudo esfera, que es la superficie en revolución generada por la tractriz al girar alrededor de su asíntota de modo que dos rectas hiperbólicas cualesquiera nunca pueden cortarse en mas de un punto.
En el plano hiperbólico toda recta es infinita en ambas direcciones. Mientras que en el modelo de seudo esfera los únicos segmentos que pueden prolongarse infinitamente son los segmentos del meridiano y en uno de los dos sentidos de la recta.
Axiomatización de David Hilbert
David Hilbert divide los postulados de que pueden partir las geometrías elementales en cinco grupos:
a)Al primero pertenecen los postulados de incidencia que son:
-
Por dos puntos pasa una y solo una recta.
-
Toda recta tiene por lo menos dos puntos.
-
Existen por lo menos tres puntos no alineados.
Ø Este grupo coincide con lo formulado por Euclides en sus elementos.
Ø Sirve para definir la geometría hiperbólica y la elíptica.
, en su tesis doctoral titulada “Sobre las hipótesis en que se basa la geometría”, planteó la enorme indeterminación o relatividad a que pueden estar sujetos nuestros compases cuando viajan. Esto fue aprovechado por Einstein para formular una mejor aproximación de nuestro espacio-tiempo físico.
Siguientes graficas
Toda su argumentación va dirigida a excluir mediante reducción al absurdo, es decir, mediante una demostración indirecta, las dos hipótesis del ángulo obtuso y agudo.
El libro de Saccheri, sin darse cuenta, constituye el primer tratado de geometrías no euclídeas con unos 30 teoremas.
Uno de sus planteamientos más profundos es el llamado “Teorema de Saccheri” que expresa: “Dos rectas situadas en un mismo plano o tienen una perpendicular en común, o se cortan a distancia finita o son asintóticas entre si”.
