La elipse y sus ecuaciones

La elipse y sus ecuaciones

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Datos importantes:

a > b; donde a es el semieje mayor y b el semieje menor

VV´ = 2a eje mayor; BB´ = 2b eje menor; HF + HF´ = 2a

FF´ = 2c; LR = 2b^2/a; e = c/a excentricidad

La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es igual al eje mayor o sea 2a

Elementos de una elipse

Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: HF y HF’.

Distancia focal: es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la longitud semidistancia focal.

Eje mayor es el segmento de longitud 2a , a es el valor del semieje mayor

Vértices son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: V, V´, B y B’

Eje menor es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor

El centro de simetría coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección delos ejes de simetría

Lado recto de una elipse es un segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el foco.

La excentricidad de la elipse es el cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor, su valor esta entre 0 y 1. → 0 ≤ e ≥ 1

Elipse centrada en el origen de coordenadas y eje mayor el eje “X”

Caso I Elipse horizontal

La ecuación ordinaria para una elipse horizontal, con eje simetría el eje “X” es x²/a² + y²/b² = 1

La figura muestra además la relación pitagórica entre a, b y c, es decir, a² = b² + c²

Ejemplo: Dada la ecuación de la elipse x²/25 + y²/9 = 1,determinar: centro, coordenadas de los vértices, eje mayor, eje menor, las coordenadas de los focos y hacer la gráfica.

Solución

1. Como los coeficientes de x² y y² es uno, entonces la elipse está centrada en el origen de coordenadas.
C(0, 0)

Como a > b, entonces el eje mayor es el eje “X” por tanto

a² = 25 → a = ± 5

b² = 9 → b = ± 3

El valor de c se determina con la relación Pitagórica

c² = a² – b² c2 = 16

c² = (5)² – (3)² c = ±4

c2 = 25 – 9

Nota: c es un número positivo, ya que la distancia siempre es positiva.

a) Coordenadas de los vértices: V(5,0) y V´(-5,0)
b) Las coordenadas de los focos son F(±c,0) → F(±4,0), como la elipse es horizontal, entonces:

d) Lado recto e) Excentricidad

LR = 2b2/a LR = 18/5 e = c/a

LR = 2(3)2 LR = 3.6 e = 4/5

LR = 2(9) e = 0.8

f) longitud del eje mayor g) Longitud del eje menor

V´V = 2a B´B = 2b

V´V = 2(5) B´B = 2(3)

V´V = 10 B´B = 6

a) Coordenadas de los vértices: V(5,0) y V´(-5,0)

b) Las coordenadas de los focos son F(±c,0) → F(±4,0), como la elipse es horizontal, entonces:

d) Lado recto e) Excentricidad

LR = 2b2/a LR = 18/5 e = c/a

LR = 2(3)2 LR = 3.6 e = 4/5

LR = 2(9) e = 0.8

f) longitud del eje mayor g) Longitud del eje menor

V´V = 2a B´B = 2b

V´V = 2(5) B´B = 2(3)

V´V = 10 B´B = 6

Para construir el gráfico se despeja “y” de la ecuación x²/25 + y²/9 = 1

x²/25 + y²/9 = 1 y = ± 3√(1 – x²/25)

y2/9 = 1 – x2/25

y² = 9[1 – x²/25]

Se construye una tabla para los valores de x e y, los valores de x no deben sobre pasar la raíz cuadrada del denominador de x, es decir, │x│≤√25

Cálculo
Para x = ±1 Para x = ±2
y = ± 3√[1 – x²/25] y = ± 3√[1 – 0.04] y = ± 3√[1 – x²/25] y = ± 3√[1 – 0.16]

y = ± 3√[1 – (1)²/25] y = ± 3√[0.96] y = ± 3√[1 – (2)²/25] y = ± 3√[0.84]

y = ± 3√[1 – 1/25] y = ± 3(0.98) y = ± 3√[1 – 4/25] y = ± 3(0.92)

y = ± 2.9 y = ± 2.8

Para x = ±3

y = ± 3√[1 – x²/25] y = ± 3√[1 – 0.36]

y = ± 3√[1 – (3)²/25] y = ± 3√[0.64] Continuar el estudiante.

y = ± 3√[1 – 9/25] y = ± 3(0.8)

y = ± 2.4

x	1	2	3	4	5
y	2.9	2.8	2.4	1.8	0
	-2.9	-2.8	2.4	-1.8	0

Tabla

Deduzca la ecuación y los elementos faltantes de la elipse, si sus vértices son(±8,0) y sus focos (±2.5,0)

Elipse centrada en el origen de coordenadas y eje mayor el eje “Y”

Caso II Elipse vertical

La ecuación ordinaria para una elipse horizontal, con eje simetría el eje “y” es x²/b² + y²/a² = 1

La figura muestra además la relación pitagórica entre a, b y c es decir, a² = b² + c²

Determina los elementos de la elipse que tiene como ecuación x²/16 + y²/25 = 1 y grafícala.
Siemprea > b; a² = 25 y b² = 16

√a² = ±√25 → a = ±5 c² = (5)² – (4)² → c² = 25 – 16

√b² = ±√16 → b = ±4 c² = 9 √c² = ±√9 → c = ±3

Centro: C (0,0)

Eje mayor: 2a=2(5) → a=10

Eje menor: 2b=2(4) → b = 8

Coordenadas de los vértices: V (0,5); V´(0,-5)

Coordenadas de los focos: F(0,±c) → F(0,+c) = F(0,+3); F´(0,-c) = F´(0,-3)

Lado recto Excentricidad

LR = 2b2/a LR = 18/5 e = c/a

LR = 2(3)2/5 LR = 3.6 e = 4/5

LR = 2(9) e = 0.8

Para construir el gráfico, el procedimiento es análogo al anterior y debe tener siempre presente que el valor absoluto de x tiene que ser menor o igual que la raíz cuadrada del denominador de x, es decir, │x│≤√16

x	±1	±2	±3	±4
y	4.8	4.3	3.3	0
	-4.8	-4.3	-3.3	0

Determinar la ecuación ordinaria de la elipse, a partir de la ecuación general.
Si la elipse está centrada en el origen.

En este caso se debe conocer la forma de la ecuación ordinaria de la elipse centrada en el origen.

a) Si la elipse es horizontal su forma es x²/a² + y²/b² = 1

b) Si la elipse es vertical su forma es x²/b² + y²/a² = 1

c) El coeficiente numérico de los numeradores x² y y² debe ser 1

d) El término independiente se pasa al 2do miembro si no está y luego se divide toda la ecuación por ese número.

Ejemplo

Encontrar la ecuación ordinaria, sus elementos y hacer la gráfica de la elipse que tiene como ecuación general 9x² + 16y² – 144 = 0

9x² + 16y² – 144 = 0 → 9x² + 16y² = 144

9x²/144 + 16y²/144 = 144/144 → x²/16 + y²/9 = 1 Ecuación ordinaria buscada

Como en la ecuación resultante, el mayor denominador es16, entonces a² =16 y el menor es 9, b² = 9. La ecuación tiene la formax²/a² + y²/b² = 1 que corresponde a una elipse horizontal

El procedimiento para calcular sus elementos y hacer la gráfica fue explicado anteriormente.

.Ejercicios

a. Determina los elementos faltantes, la ecuación y haz la gráfica la elipse si V(0,±5) y e = 0.6

b. Obtener los elementos restantes, la ecuación y hacer la gráfica de la elipse si F(2.5,0) y e = 0.5

c. Hallar la ecuación y todos elementos de la elipse que tiene como vértices V(±5,0) y F(±3,0)

d. Determine los elementos, la ecuación ordinaria y haga la gráfica de la elipse cuya ecuación general es:

a. 9x2 + y2 = 9 b. 25x2 + 9y2 = 225 c. 4x2 + 9y2 = 36

e. Escriba la ecuación de la elipse de cada figura.