AXIOMATIZACIÓN Y FORMALISMO
AXIOMATIZACIÓN Y FORMALISMO
Para esta teoría formalista se “idealizará” las demostraciones matemáticas: introducción de puntos en el infinito, la introducción de números imaginarios, etc.
Los griegos fueron los primeros en construir una axiomática de la matemática con un método genético, es decir, se engendraban las nociones y principios construyéndolos con una fundamentación en el mundo exterior.
Esta idealización es lo que constituye los sistemas formales de las demostraciones matemáticas.
El método griego fue una axiomática genética, es decir, se engendraban las nociones y principios construyéndolos con una fundamentación del mundo exterior.
Hilbert demostró la consistencia de la geometría euclídea respecto de la aritmética, y algo análogo puede hacerse con la geometría analítica creada por Descarte.
AXIOMATIZACIÓN FORMAL.
En los axiomas de la geometría Euclidiana plana, los términos primitivos empleados son:
ü Punto
ü Rectas
ü Relaciones de incidencias
ü Orden
ü Congruencia
Pasch (1843-1930), maestro de Hilbert, el primero que empleó (1882) la definición implícita en la fundamentación de la geometría.
En un sistema formal tendremos:
q Término
q Fórmulas
q Demostraciones
q Teoremas
En la elaboración de un sistema formal en orden a demostrar la validez de los métodos matemáticos clásicos podemos distinguir tres etapas:
• Símbolos
• Fórmulas
• Teoremas del sistema.
TEORÍA DE
Esta ha de emplear exclusivamente razonamientos evidentes y por tanto finitarios que demuestren teóricamente que los métodos de las matemáticas conducen a teoremas verdaderos y son por tanto métodos válidos.
La clave fundamental de la teoría de la demostración es la noción de consistencia del sistema formal.
Si las matemáticas son verdaderas el sistema formal tiene que ser consistente.
Si la teoría formal no fuera consistente, se podría demostrar una fórmula A y la negación de A , ~A: : pero, de esta demostrabilidad se sigue que todas las fórmulas del sistema son demostrables y por tanto se podría demostrar una cualquiera por ejemplo, 1=2 ó 1≠1 por tanto…..
Para demostrar que la teoría formal de números es consistente, bastará demostrar que existe una fórmula cualquiera indemostrable.
Se refiere directamente al sistema formal, sin apelar a la interpretación matemática ni a los métodos matemáticos como tales, debe ser evidente, es decir por métodos finitarios que excluyan el uso del infinito actual.
q Destinada a establecer la compatibilidad de la Matemática mediante un limitado número de proposiciones.
q Estudia desde fuera los sistemas formales.
q Se restringe a los métodos finitarios.
MAESTRANTES:
ALTAGRACIA MIGUELINA ABREU CASADO
CESAR WILLIAM GIL LEBRÓN
MELANIA ESCALENTE