Aplicación de la Función Cuadrática
1) Una persona tiene 60m de alambres para cercar su jardín rectangular, Sabiendo que solo debe colocarlo sobre tres lados, y que el cuarto limita con su casa. ¿Cuál es la dimensión del cerco si se desea tener área máxima?
Solución
área del rectángulo A = b * h → A = x(60 – 2x) → A = 60x – 2x2
Se sabe que ax2 + bx + c = 0 → a = - 2; b = 60 y c = 0 ⇒ x = (-b ± √b2 – 4ac)/2a → x = (-60 ± √602 – 4(-2)(0))/2(-2)
x = ( - 60 ± √3600 – 0/-4) → x = ( - 60 ± √3600/-4) → x = ( - 60 ± 60/-4)
x1 = (- 60 + 60)/-4 → x1 = 0/-4 → x1 = 0; x2 = (- 60 - 60)/-4 → x2 = - 120/-4 ⇒ x2 = 15 m
El área máxima se determina usando la expresión A =60x – 2x2
A =(60 m)(15 m) – 2(15 m)2 → A =900 m2 – 2(225 m2) → A =900 m2 – 450 m2) ⇒ A =450 m2
2) Hallar dos números cuya suma es 16 y su producto es 63.
Sean x e y los números; x + y = 16 ( 1 ) → y = 16 – x ( 3 ); x * y = 63 ( 2 ) → Sustituyendo 3 en 2 se tiene x(16 – x) = 63 → 16x – x2 = 63 Ordenando en su forma canónica: x2 – 16x + 63 = 0 ; Factorizando (x – 9)(x – 7) = 0 ⇒ x1 – 9 = 0 → x1 = 9; x2 – 7 = 0 → x2 = 7
x1 = x ; x2 = y → x + y = 63 → 9 + 7 = 16; x * y = 63 → 9 * 7 = 63
3) El área de un triángulo es 42m2. Si la altura es 5m mayor que la base Ilustración 1
b = base ; h = altura ; A = 42 m2 ; h = 5 m + b como área de un ∆ es: A =( b * h)/2 → A = b(5 + b)/2 → (5b + b2)/2
2A = 5b + b2 → 2(42) = b2 + 5b → b2 + 5b = 84 → b2 + 5b – 84 = 0
4) El largo de un rectángulo es 3m más que su ancho. El área es de 70m2. Encuentra el largo y el ancho del rectángulo. Ilustración 2
b = 3 + a; a = h ; A = 70 m2 ; A = b * h ; sustituyendo 70 m2 = (3 + a)a → 70 m2 = 3a + a2 ; ordenando a2 + 3a – 70 m2 = 0
Esta ecuación puede ser resuelta por dos vías: por factorización o por fórmula cuadrática.
Solución por factorización ⇒ (a – 7)(a + 10) = 0 → a1 – 7 = 0 → a1 = 7 ; a2 + 10 = 0 → a2 = -10
La raíz a2= -10 se descarta porque las dimensiones no pueden ser negativas. por tanto: Ancho “a”=7 ; Largo“b”=3 + a → “b”=3 + 7 → “b” =10
5) La hipotenusa de un triángulo mide 6m. un cateto mide 1m más que el otro cateto. Encuentra el valor de los catetos. Ilustración 3
Solución
Hipotenusa: h =6 m; Catetos: x = x; y = x + 1 ; Por el teorema de Pitágoras se tiene: h2 = x2 + y2 ⇒ Por el teorema de Pitágoras se tiene: h2 =x2 + y2
(6)2 = (x)2 + (x + 1)2 → 36 = x2 + x2 + 2x + 1 → 36 = 2x2 + 2x + 1 → 2x2 + 2x -35 = 0; Aplicando formula general: a = 2; b = 2 y c = - 35
x = (-b ± √b2 – 4ac)/2a → x = (- 2 ± √22 – 4(2)(-35))/2(2) ► x = ( - 2 ± √4 + 280/4) → x = ( - 2 ± √284/4) → x = ( - 2± 16.9/4)
x1 = (- 2 + 16.9)/4 → x1 = 14.9/4 → x1 =3.7m ⇒ x2 = (- 2 – 16.9)/4 → x2 = - 18.9/4 → x2 = - 4.7m
La longitud de un segmento es siempre positiva x2 =- 4.7 Se descarta. Valor de los catetos: x =x1 → x =3.7m; y =x + 1m → y=3.7m+1m → y = 4.7m
6) El área de un rectángulo está en función de su ancho, si el largo mide cuatro unidades más que el triple de su ancho.
a) ¿Cuánto vale el ancho y el largo del rectángulo? b) ¿Cuál es la gráfica del área del rectángulo que plantea el problema?
Solución
Área del rectángulo área del nuevo rectángulo
A = (x)(y) A = (x) (3x + 4) → A = 3x2 + 4x
3x2 + 4x = 0; aplicando fórmula general: a = 3; b = 4; c = 0 ⇒ x = (-b ± √b2 – 4ac)/2a → x = (- 4 ± √42 – 4(3)(0))/2(3)
x = ( - 4 ± √16 + 0/6) → x = ( - 4 ± √16/6) → x = ( - 4± 4/6)
x1 = (- 4 + 4)/6 → x1 = 0/6 → x1 =0 m → x2 = (- 4 – 4)/6 → x2 = - 8/6 → x2 = - 1.33 m
El ancho no puede ser 0 ni negativo. Por tanto es +1.33 m; ⇒ El largo del nuevo rectángulo es y = 3x + 4 → y = 3(1.33) + 4 → y = 3.99 + 4 → y = 7.99 m
7) El área de un rectángulo de3m de altura es 36m2, se divide en dos partes de tal manera que una es doble de la otra.
a) ¿Cuál es el valor de la base de la primera y de la segunda? b) ¿Cuánto vale el área de cada uno?
Solución
Sea x la base del rectángulo de área A1 y la base del rectángulo de área A2 es 2x, la base total del rectángulo es x + 2x = 3x
El área de un rectángulo es A = b x h
36 = (3x)(3) ⇒ 36 = 9x ⇒ 36/9 = 9x/9 Simplificando 4 = x
La base del rectángulo de área A1 es x = 4; La base del rectángulo de área A2 es 2x = 2(4) → 2x = 8
Área del rectángulo A1 Área del rectángulo A2
A1 = (x)(h) ⇒ A1 = (4 m)( 3 m) ⇒ A1 = 12 m2 ; A2 = (2x)(h) ⇒ A2 = (8 m)(3 m) ⇒ A2 = 24 m2
El área total del rectángulo es A1 + A2 = At → 12 m2 + 24 m2 = 36 m2
8) El área de un terreno rectangular está representado por el área de un rectángulo cuya ecuación es x2 + 2x – 8 = 0
a) Determine la solución de la ecuación b) ¿Cuánto mide el largo y el ancho del rectángulo?
c) ¿Cuánto vale el área? d) Hacer la gráfica de la ecuación
a) Fórmula general a = 1; b = 2; c = - 8
x =[- b± √(b2 – 4ac) ]/2a → x =[- 2± √(22 – 4(1)(-8)) ]/2(1) → x =[- 2± √(4 + 32) ]/2 → x =[- 2± √36]/2 ⇒ x =(- 2± 6)/2
x1 = (- 2 + 6)/2 → x1 = 4/2 ⇒ x1 = 2; x2 = (- 2 – 6)/2 → x2 = - 8 /2 ⇒ x2 = - 4
b) El ancho mide 2m y el largo mide 4m (la longitud siempre es positiva)
c) El área es A = a x l → A = (2m)(4m) → A = 8m2
d) Gráfica de la ecuación
La ecuación del área A = x2 + 2x – 8
Para hacer la gráfica de la ecuación se procede de la manera siguiente: 1) Se construye una tabla donde se asignan valores a la variable x para obtener los valores del área.
2) Estos valores se localizan en el plano cartesiano y luego se unen con una curva suave, trazando así la parábola que es la gráfica de la ecuación.
|
x
|
A
|
|
-5
|
7
|
|
-4
|
0
|
|
-3
|
-5
|
|
-2
|
-8
|
|
-1
|
-9
|
|
0
|
-8
|
|
1
|
-5
|
|
2
|
0
|
|
3
|
7
|
Determina el valor del área para cada uno de los valores restante de la
variable x
9) El pasto de una cancha de futbol tiene las siguientes dimensiones: su largo es el doble de su ancho, dicho pasto está actualmente en reparación y ampliación, el largo y ancho amplían 2 m. calcular:
a) Hacer un dibujo de situación b) ¿Cuál es la ecuación del nuevo campo?
c) ¿Cuánto vale el ancho y el largo del nuevo campo? d) ¿Cuánto vale la nueva área del campo?
Solución
Sea x el ancho, y el largo entonces y = 2x
b) A = (x + 2)(y + 2) → A = (x + 2)(2x + 2) → A = 2x2 + 2x + 4x + 4 ⇒ A = 2x2 + 6x + 4
c) Resolver la ecuación del área por factorización para determinar las dimensiones:
2x2 + 6x + 4 = 0 → (2x + 2)(x + 2) = 0 se iguala cada factor a cero.
2x1 + 2 = 0 → x1 = -2/2 → x1 = -1; x2 + 2 = 0 → x2 = - 2, las dimensiones tienen que ser positivas por tanto:
1) Ancho del nuevo campo x + 2 = x2 + 2 → x + 2 = 2 + 2 ⇒ x + 2 = 4m
2) Largo del nuevo campo y + 2 = 2x2 + 2 → y + 2 = 2(2) + 2 → y + 2 = 4 + 2 ⇒ y + 2 = 6m
d) Valor del área del nuevo campo: A = 2x2 + 6x + 4 → A = 2(2)2 + 6(2) + 4 → A = 2(4) + 12 + 4
A = 8 + 12 + 4 ⇒ A = 24m2
Generar ternas Pitagóricas
docs.google.com/file/d/0B-gr2xHGTMC9X1Z5N09MbjMxeTQ/edit