Sistemas de inecuaciones cuadráticas
I – Sistemas de inecuaciones no lineales en una variable.
Los sistemas de inecuaciones no lineales con una variable se resuelven usando el mismo procedimiento que los lineales, resolviendo por separadas las inecuaciones y luego se halla la intersección de los intervalos solución de las inecuaciones.
Ejemplos: 1.
Resolver x2 – 5x + 6 < 0
x2 – 7x + 10 ≥ 0
1º x2 – 5x + 6 < 0 factorizando (x – 1)(x – 6) < 0
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Prueba
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Intervalos
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(x – 1)
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(x – 6)
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(x – 1)(x – 6) < 0
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X = 0
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(-∞, 1)
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–
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-
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(–)(–) = +
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X = 3
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(1, 6)
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+
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-
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(+)(–) = –
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X = 8
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(6, +∞)
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+
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+
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(+)(+) = +
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2º X2 – 7x + 10 ≥ 0 factorizando (x – 2)(x – 5) ≥ 0
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Prueba
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Intervalos
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(x – 2)
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(x – 5)
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(x – 1)(x – 6) ≥ 0
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X = - 4
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(-∞, 2]
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–
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-
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(–)(–) = +
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X = 3
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[2, 5]
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+
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-
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(+)(–) = –
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X = 7
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[5, +∞)
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+
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+
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(+)(+) = +
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El conjunto solución del sistema es la intersección de los intervalos soluciones de ambas inecuaciones.
(1, 6) ∩ (-∞, 3) U (5, + ∞) = (1,3] U [5,6).
Ejemplo 2
x2 + 3x – 3 ≤ x igualando a cero x2 + 2x – 3 ≤ 0
x2 + 2x – 7 > 1 igualando a cero x2 + 2x – 8 > 0
1º) X2 + 2x – 3 ≤ 0 factorizando (x + 3)(x – 1) ≤ 0
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Prueba
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Intervalos
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(x + 3)
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(x – 1)
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(x + 3)(x – 1) ≤ 0
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x = - 5
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(-∞, - 3)
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–
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-
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(–)(–) = +
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x = - 2
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(- 3, 1)
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+
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-
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(+)(–) = –
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x = 4
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(1, +∞)
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+
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+
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(+)(+) = +
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2º) X2 + 2x – 8 > 0 factorizando (x + 4)(x – 2) > 0
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Prueba
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Intervalos
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(x + 4)
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(x – 2)
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(x + 4)(x – 2) > 0
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X = - 5
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(-∞, - 4)
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–
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-
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(–)(–) = +
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X = - 2
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(- 4, 2)
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+
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-
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(+)(–) = –
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X = 4
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(2, +∞)
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+
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+
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(+)(+) = +
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El conjunto solución del sistema es la intersección de los intervalos solución de ambas inecuaciones.
[- 3, 1] ∩ (-∞, - 4) U (2, + ∞) = Ø
Ejercicios: resolver
a) x2 – 3x > x b) 2x2+5x-1 < x2-3x-16 c) x+3x2 < 2x2+4x
-2(1 - x) ≥ - x2 3x+x2 – 6 > 2x+6 x2 + x < 8+5x+4
II – Sistemas de inecuaciones no lineales en dos variables.
Para determinar el conjunto de una inecuación cuadrática en dos variables se traza la gráfica asociada en el plano cartesiano, que es una línea curva punteada para los signos < ó > y una línea curva intensa para los signos ≤ ó ≥.
La región solución es el conjunto de todos los puntos que satisface la inecuación.
1) Sea la inecuación y > x2 esta curva toca al eje “x” en el origen.
Para hacer la tabla:
a) Se toman valores pequeños y enteros de “x” si es en función de “x” y de “y” si es en función de “y”
b) Los valores deben ser iguales y opuestos ya que cualquiera de ellos pertenecen a la curva.
En la gráfica se toman puntos en el interior y el exterior, los puntos que hagan cierta la inecuación forman el conjunto solución:
En el interior En el exterior
A(2,8) → y > x2 → 8 > (2)2 → 8 > 4 V C(6,11) → y > x2 → 11 > (6)2 → 11 > 36 F
B(- 3,12) → y > x2 → 12 > (-3)2 → 12 > 9 V D(- 3,2) → y > x2 → 2 > (-3)2 → 2 > 9 F
Como los puntos que hacen cierta la inecuación son los interiores, entonces el conjunto solución es el interior y se sombrea.
2) Sea la inecuación y ≥ - x2 esta curva toca al eje “x” en el origen.
Para hacer la tabla:
Puntos de prueba
En la gráfica se toman puntos en el interior y el exterior, los puntos que hagan cierta la inecuación forman el conjunto solución:
En el interior En el exterior
A(2,- 
→ y ≥ x2 → - 8 ≥ (2)2 → - 8 ≥ - 4 F C(6,- 11) → y ≥ x2 → - 11 ≥ (6)2 → - 11 ≥ - 36 V
B(- 3,- 12) → y > x2 → - 12 ≥ (-3)2 → - 12 ≥ - 9 F D(- 3,- 2) → y ≥ x2 → - 2 ≥ (-3)2 → - 2 ≥ - 9 V
Como los puntos que hacen cierta la inecuación son los exteriores, entonces el conjunto solución es el exterior y se sombrea.
Para resolver un sistema de inecuaciones, se encuentran las soluciones de cada inecuación (representando la gráfica asociada) y la solución del sistema será la intersección de las soluciones.
1) Dado el sistema -x2 + y ≥ - 8 → y ≥ x2 – 8
x + y < 3 → y < - x + 3
Puntos de pruebas
En la intersección Fuera de la intersección
Para y ≥ x2 – 8 Para y ≥ x2 – 8
A(-2,2) → 2 ≥ (-2)2 – 8 → 2 ≥ 4 – 8 → 2 ≥ – 4 V C(1,6) → 6 ≥ (1)2 – 8 → 6 ≥ 1 – 8 → 6 ≥ – 7 V
B(-1.-5) → -5 ≥ (-1)2 – 8 → -5 ≥ 1 – 8 → -5 ≥ – 7 V D(-5,-5)→ -5 ≥ (-5)2 – 8→ -5 ≥ 25 – 8→ -5 ≥ 17 F
Para y < - x + 3 Para y < - x + 3
A(-2,2) → 2 < -(-2) + 3 → 2 < 2 < 2 + 3 → 2 < 5 V C(1,6) → 6 < -(1) + 3 → 6 < -1 + 3 → 6 < 2 F
B(-1,-5) → -5 < -(-1) + 3 → -5 < 1 + 3 → -5 < 4 V D(-5,-5) → -5 < -(-5) + 3 → -5 < 5 + 3 → -5 < 8 V
Se puede observar que los puntos A (-2,2) y B (-1,-5), tomados en la intersección de ambas regiones satisfacen las dos inecuaciones y los puntos tomados fuera de la región intersección no satisfacen las inecuaciones. En conclusión el conjunto solución del sistema es conjunto de todos los puntos que se encuentran en la región intersección de ambas inecuaciones, o sea, pate sombreada del gráfico.
1) Resolver gráficamente el sistema 9x2 + 25y2 ≤ 225
x2 + 4y2 ≥ 16
9x2 + 25y2 ≤ 225 → 25y2 ≤ 225 – 9x2 → (25y2)1/2 ≤ ±(225 – 9x2)1/2 → 5y ≤ ±(225 – 9x2)1/2 → y ≤ ±[(225 – 9x2)1/2]/5
x2 + 4y2 ≥ 16 → 4y2 ≤ 16 – x2 → (4y2)1/2 ≤ ±(16 –x2)1/2 → 2y ≤ ±(16 –x2)1/2 → y ≤ ±[(16 –x2)1/2]/2
Puntos de pruebas
En el interior
Para9x2 + 25y2 ≤ 225
A (2,1) → 9(2)2 + 25(1)2 ≤ 225 → 9(4) + 25(1) ≤ 225 → 36 + 25 ≥ 225 → 61 ≤ 225 V
B (-3,2) → 9(-3)2 + 25(2)2 ≤ 225 → 9(9) + 25(4) ≤ 225 → 81 + 100 ≤ 225 → 181 ≤ 225 V
C (-3,-2) → 9(-3)2 + 25(-2)2 ≤ 225 → 9(9) + 25(4) ≤ 225 → 81 + 100 ≤ 225 → 181 ≤ 225 V
En el exterior
9x2 + 25y2 ≤ 225
D (3,4) → 9(3)2 + 25(4)2 ≤ 225 → 9(9) + 25(16) ≤ 225 → 81 + 400 ≤ 225 → 481 ≤ 225 F
E (-5,-3) → 9(-5)2 + 25(-3)2 ≤ 225 → 9(25) + 25(9) ≤ 225 → 225 + 225 ≤ 225 → 450 ≤ 225 F
El conjunto solución de la elipse 9x2 + 25y2 ≤ 225 son todos los puntos de su interior
Para x2 + 4y2 ≥ 16
En el interior
A (2,1) → (2)2 + 4(1)2 ≥ 16 → 4 + 4(1) ≥ 16 → 4 + 4 ≥ 16 → 8 ≥ 16 F
F (-3,-1) → (-3)2 + 4(-1)2 ≥ 16 → 9 + 4(1) ≥ 16 → 9 + 4 ≥ 16 → 13 ≥ 16 F
En el exterior
B (-3,2) → (-3)2 + 4(2)2 ≥ 16 → 9 + 4(4) ≥ 16 → 9 + 16 ≥ 16 → 25 ≥ 16 V
C (-3,-2) → (-3)2 + 4(-2)2 ≥ 16 → 9 + 4(4) ≥ 16 → 9 + 16 ≥ 16 → 25 ≥ 16 V
E (-5,-3) → (-5)2 + 4(-3)2 ≥ 16 → 25 + 4(9) ≥ 16 → 25 + 36 ≥ 16 → 61 ≥ 16 V
El conjunto solución de la elipse x2 + 4y2 ≥ 16 son todos los puntos de su exterior
Los puntos B (-3,2) y C (-3,-2) se encuentran en el interior de la elipse 9x2 + 25y2 ≤ 225 y en el exterior de la elipse x2 + 4y2 ≥ 16, es decir, en la intersección del conjunto solución de ambas elipses. Por tanto el “conjunto solución del sistema está formado por todos los puntos que hacen verdaderas las inecuaciones y que se encuentran en la región intersección de ambas elipses”.
Ejercicios.
Gráfica y determina el conjunto solución de cada sistema:
a) 3x2 + 4y ≥ 12 b) y ≥ x2 – 2x – 9 c) 3x – 4y ≥ - 5 d) y2 – x2 ≤ 1
3x + 2y < 6 y ≤ 2x + 3 (x + 3)2 + (y + 1)2 ≤ 25 x2 – y2 ≤ 9
e) x2 +y2 ≥ 9 f) (X2/16) + (y2/4) ≤ 1 g) (x2/4) + (y2/9) ≤ 1
16x2 + 25y2 ≤ 400 [(x - 2)2/4] + y2 ≥ 1 y2 – x2 ≥ 1