Proporciones simples y compuestas

Proporciones simples y compuestas

Concepto de razón:Comparación de dos cantidades por medio de la división (cociente)

La razón de una cantidad “a” a una cantidad “b” se expresa por a/b
a) La razón de 8 a 36 (8 : 36) se expresa 8/36 que simplificada es 2/9

b) De una caja con 20 naranjas 5 salen defectuosas. ¿en que razón están? 5/20 = ¼ = 0.25

Esto se puede traducir asi: de cada 4 naranjas, una(1) sele defectuosa.

Concepto de proporción

Una proporción es la igualdad entre dos razones
Así la expresión a/b = c/d es una proporción que puede expresarse como a : b : : c : d, donde
a y d son llamados extremos de la proporción
b y c son llamados medios de la proporción

Una propiedad muy importante de las proporciones establece que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos” b * c = a * d

¿Cuál es la razón en cada caso?

Lados correspondientes (homólogos) Razón

AB ⇒ DE ………………………… AB/DE = 3.22cm/1.61cm = 2

BC ⇒ EF ………………………… BC/EF = 3.92cm/1.96cm = 2

AC ⇒ DF ………………………… AC/DF = 6.10cm/3.05cm = 2

Por tanto como las razones son iguales, entonces:

3.22cm/1.61cm = 3.92cm/1.96cm = 6.10cm/3.05cm ⇔ AB/DE = BC/EF = AC/DF

Proporción directa (regla de tres directa)

Una proporción es directa si cuando una cantidad aumenta o disminuye la otra aumenta o disminuye en la misma proporción.

Ejemplos

a) Un automóvil recorre 278 km con 323 pesos de gasolina. ¿Qué distancia recorrerá con 150 pesos?

Distancia recorrida	Gasto de gasolina
278 km	323 pesos
129.1 km	150 pesos

Solución

278 km : 323 pesos :: x : 150 pesos por la propiedad de las proporciones

(323 pesos) (x) = (278 km) (150 pesos) ⇒ x = (278 km) (150 pesos)/323 pesos

X = 41700 km * pesos/323 pesos ⇒ x = 129.1 km

b) Un sastre compró 3 m de tela y pagó 21 pesos. Si necesita 7m de la misma tela, ¿Cuánto deberá pagar?

Cantidad de Tela	3 m	7 m
Pago en peso	21 pesos	x

Solución

3 m : 12 pesos :: 7 m : x pesos aplicando la propiedad de las proporciones y despejando x

(3 m)(x) = (21 pesos)(7 m) ⇒ x = (21 pesos)(7 m)/3m
x = 147 pesos/3 ⇒ x = 49 pesos

c) Un automóvil necesita 18 litros de gasolina para recorrer 148 km. ¿cuánto necesita para recorrer 562 km?

Litros	km
18	148
x	562

Solución

148 km : 18Litros :: 562 km : x Litros aplicando la propiedad de las proporciones y despejando x

(148 km)(x) = (18 Litros)(562 km) ⇒ x = (18 Litros)(562 km)/148 km

x = 10116/148 ⇒ x = 68.35 Litros
d) Si un automóvil recorre 180 con 12litros de gasolina. ¿Cuántos km recorrerá con 20 litros de gasolina?

Litros Gasolina	Distancia(km)
12	180
20	x

e) El corazón de un hombre adulto, en condiciones normales, bombea 5 litros de sangres por minuto. ¿Cuántos litros de sangre bombeará en un día?

Litro	Minuto
5	1
x	1440

f) Dos kilogramos de manzana cuestan 5 dólares. ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos?

kilogramo	Dólares
2	5
8	x

Proporción inversa (regla de tres inversa)

Una proporción es inversa si cuando una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción y viceversa

Ejemplos:
a) Para terminar un mueble 2 ebanistas tardan 8 horas. ¿En cuánto tiempo terminarían el mismo mueble 5 ebanistas?

Ebanistas	Tiempo(horas)
2	8
5	x

Solución
2 Eb : 5 Eb :: x horas : 8 horas Aplicando la propiedad de las proporciones

(5 Eb)(x horas) = (2 Eb)(8 horas)                 x = (2 Eb)(8 horas)/5Eb
x = 16 horas/5   x = 3.2 horas
b)    Dos trabajadores tardan 20 horas en montar un ordenador. ¿Cuánto tardarán 8 trabajadores en montar dicho ordenador?

Trabajadores	Horas
2	20
8	x

Proporcionalidad compuesta

1. Con 12 latas de de pintura cada una se han pintado 90 m de muro de 80 cm de altura. ¿Cuántas latas de 2 kg de pintura serán necesarias para pintar un muro similar de 120 cm de altura y 200 m de longitud?

Pintura		Muro
Latas	Contenido(kg)	Longitud(m)	Altura(cm)
+ 12	+ 1/2	- 90	- 80
x	- 2	+ 200	+ 180

a)    La columna que contiene la incógnita es siempre positiva, el signo de las demás columnas depende del tipo de relación (Si es Directa +, Inversa -)
b)    Se compara la columna que contiene la incógnita con cada una, manteniendo constante la otra.
c)    El valor de la incógnita se determina dividiendo los producto de las cantidades positivas entre los producto de las cantidades negativas.
Solución
Así    x = producto de las cantidades positivas (+)/producto de las cantidades negativas (-)

X = (12)(1/2)(200)(120)/(2)(90)(80) ⇒ x = 144000/14400 ► X = 10 Latas

2. 50 hombres tienen alimento para 20 días a razón de 3 comidas diaria. Si las comidas se disminuyen 1/3 y se aumentan 10 hombres. ¿Cuántos días les durará el alimento?

Hombres	Días	Comidas/diaria
+ 50	+ 20	+ 3
- 60	x	- 2

Solución

X = producto de las positivas (+)/producto de las negativas (-)

X =(50)(20)(3)/(60)(2) X = 3000/120

X = 25 días
3. Se compran 8 paquetes de materia prima de 150 kg cada una por 480 pesos. ¿Cuánto costaran 20 paquetes de 80 kg cada uno?

Paquete	Contenido(kg)	Valor total(pesos)
- 8	- 150	+ 480
+ 20	+ 80	x

4. Un automovilista sabe que para cubrir en 10 días, a razón de 12 horas diaria de marcha, debe marchar a un promedio de 42 km/h. ¿A qué velocidad debe marchar para realizar ese mismo trayecto en 8 días, viajando 9 horas diaria?

Días	Horas	Km/h
+ 10	+ 12	+ 42
- 8	- 9	x

5. El dueño de una carpintería ha calculado que para terminar 48 sillas, 5 ebanistas tardan 6 días. Si 2 ebanistas no pueden trabajar, ¿Cuántos días tardarían para hacer 72 sillas?

Ebanistas	Sillas	Días
+ 5	- 48	+ 6
- 3	+ 72	x

6. En 3 días, 4 obreros trabajando 8 horas diarias hacen un muro de 48 m de longitud. ¿Cuántos días tardaran 6 obreros trabajando 10 horas diarias, en construir un muro de 150 m de longitud?

Días	Obreros	Horas	Muro(m)
+ 3	+ 4	+ 8	- 48
x	- 6	- 10	+ 150

7. Una estufa a gasolina consume 10 galones en 8 días, funcionando 6 horas diaria. ¿Cuánta gasolina se necesita para 50 días si se enciende la estufa durante 8 horas diarias?

Gasolina(galones)	Días	Horas
+ 10	- 8	- 6
x	+ 50	+ 8