Hipérbola con centro en el exterior del origen
Hipérbola can centro fuera del origen
Ecuación de la hipérbola con centro C (h, k) y focos en F (h, k ± c)
Ecuación de la hipérbola con centro C(h,k) y focos F(h±c, k)
Cuando la hipérbola tiene el centro en C (h, k) y su eje transversal es horizontal, su ecuación es (x – h)2/a2 – (y - k)2/b2 = 1
Ecuación de la hipérbola con centro C (h, k) y focos en F (h, k ± c)
Cuando la hipérbola tiene el centro en C (h, k) y su eje transversal es vertical, su ecuación es (y – k)2/a2 – (x – h)2/b2 = 1
La relación pitagórica c2 = a2 + b2 sirve para calcular la coordenada del foco.
Ejemplo:
1. Escriba la ecuación ordinaria, las coordenadas del centro, los vértices, los focos y el lado recto de la hipérbola. 9x2 + 36x – 16y2 – 96y = 252
Ecuación ordinaria
a) se completa cuadrado respecto a “x” y “y”.
9(x2 + 4x) – 16(y2 + 6y) = 252
9(x2 + 4x + (4/2)2) – 16(y2 + 6y + (6/2)2) = 252 + 36 - 144
9(x2 + 4x + 4) – 16(y2 + 6y + 9) = 144 factorizando esta ecuación
9(x + 2)2 – 16(y + 3)2 = 144
b) dividiendo ambos miembros por el termino independiente 144.
9(x + 2)2/144 – 16(y + 3)2/144 = 144/144 simplificando
(x + 2)2/16 – (y + 3)2/9 = 1 Ecuación ordinaria buscada
La hipérbola es horizontal porque el término positivo (x + 2)2/16 de la hipérbola corresponde al eje “x”.
Centro de la hipérbola
C(h,k) → C(- 2, - 3)
Para calcular las coordenadas de los focos es necesario conocer c.
C2 = a2 + b2 → c2 = (4)2 + (3)2;
C2 = 16 + 9 → c2 = 25
√c2 = ±√25 → c = ± 5
Como la hipérbola es horizontal, los focos están sobre el eje x
Foco (h ± c, k) → (- 2 ± 5, - 3)
Eje transversal Eje conjugado
2a = 2(4) → 2a = 8 2b = 2(3) → 2b = 6
Excentricidad Lado recto de la hipérbola
e = c/a → e = 5/4 e = 1.25 LR = 2b2/a → LR = 2(3)2/4
LR = 2(9)/4 LR = 18/4 → LR = 4.5
2. Identifique el centro, los vértices, los focos, el eje transversal, conjugado, la ecuación general, la excentricidad, el lado recto, hacer la gráfica y determinar las ecuaciones de las asíntotas en (y + 1)2/64 – (x – 3)2/36 = 1
Es una hipérbola vertical, ya que el término positivo esta sobre el eje “y”.
Para la grafica usé una escala de dos, ya que los semiejes son muy grande.
a) centro C (h, k) → C (3, - 1)
a2 = 64 → √a2 = ±√64 → a = ± 8; b2 = 36 → √b2 = ±√36 → b = ±6
c2 = a2 + b2 → (8)2 + (6)2
c2 = 64 + 36 → c2 = 100
√c2 = ±√100 → c = ± 10
b) Vértices V (h, a± k)
1) V (3, 8 + (-1)) → V (3, 7)
V´(3, -8 -(-1)) → V´(3, - 7)
c) focos F (h, k ± c)
F (h, k +c) → F (3, -1 + 10) → F (3, 9)
F´(h, k – c) → F´(3, -1 – 10) → F´(3, - 11)
d) Eje transversal Eje conjugado
2a = 2(8) → 2a = 16 2b = 2(6) → 2b = 12 a) Ecuación general
(y + 1)2/64 – (x – 3)2/36 = 1 → [36(y + 1)2 – 64(x – 3)2]/2304 = 1
36(y2 + 2y + 1) – 64(x2 – 6x + 9) = 2304
36y2 + 72y + 36 – 64x2 + 384x – 576 = 2304
36y2 + 72y – 64x2 + 384x = 2304 – 36 + 576
36y2 + 72y – 64x2 + 384x = 2844 Simplificando (dividir por 4)
9y2 + 18y – 16x2 + 96x = 711
b) Excentricidad
e = c/b → e = 10/6 → e = 1.7
c) Lado recto
LR = 2b2/a → LR = 2(6)2/8
LR = 2(36)/8 → LR = 72/8 → LR = 9 Para la grafica usé una escala de dos, ya que los semiejes son muy grande.
h) Ecuaciones de las asíntotas
Como la hipérbola es vertical, o sea, el eje transversal es el eje “y”
Como la hipérbola es vertical, o sea, el eje transversal es el eje “y”
1. El eje Transverso es paralelo al eje “Y”, entonces y – k = ±m(x - h) y como el centro C(3, - 1), h = 3; k = -1
m = a/b → m = 8/6
y – k = +m(x – h)
y – (- 1) = 8/6(x – 3) → y + 1 = (8x – 24)/6
6(y + 1) = 8x – 24 → 6y + 6 = 8x – 24
8x – 6y – 24 – 6 = 0 → 8x – 6y – 30 = 0, simplificando 4x – 3y – 15 = 0
2. Y – k = -m(x – h) y m =- a/b → m = - 8/6
Y – (- 1) = - 8/6(x – 3) → y + 1 = -(8x – 24)/6
6(y + 1) = - 8x + 24 → 6y +6 = - 8x + 24
8x + 6y + 6 – 24 = 0 → 8x + 6y – 18 = 0 simplificando 4x + 3y – 9 = 0
Ejercicios
I. Grafique cada hipérbola e Identifique el centro, los vértices, los focos, el Eje transversal, conjugado, la ecuación general, la excentricidad, el lado recto y determine las ecuaciones de las asíntotas.
I. Deduzca la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y – 4 = ± 3/5(x + 2) y su foco está en (- 2 + 2√34, 4).
Ejercicios
I. Grafique cada hipérbola e Identifique el centro, los vértices, los focos, el Eje transversal, conjugado, la ecuación general, la excentricidad, el lado recto y determine las ecuaciones de las asíntotas.
I. Deduzca la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y – 4 = ± 3/5(x + 2) y su foco está en (- 2 + 2√34, 4).
a) (x + 3)2/9 – (y – 1)2/4 = 1 c) (x – 2)2/25 – (y + 1)2/16 = 1
b) (y – 1)2/9 – (x – 2)2/4 = 1 d) (y + 2)2/25 – (x – 1)2/9 = 1
II. Escriba, la ecuación ordinaria y haga la gráfica de la hipérbola que tenga las propiedades citadas.
a) Centro C(- 2, 3); eje transverso vertical de longitud 6 y c = 4
b) Centro C(4, 4); vértice V(4, 7) y b = 2
III. Escriba la ecuación ordinaria, identifique los elementos de la hipérbola, grafique y determine las ecuaciones de las asíntotas.
III. Escriba la ecuación ordinaria, identifique los elementos de la hipérbola, grafique y determine las ecuaciones de las asíntotas.
a) 4x2 – 8x – 9y2 – 36y = 68 b) y2 + 4y – 4x2 + 8x = 4 c) 4x2 – 3y2 – 8x – 8 = 0
d) Y2 -2x2 – 4x – 4y = 0 e) 28x2 – 36y2 – 1008 = 0
I. Deduzca la ecuación y determine los elementos de las siguientes hipérbolas.
d) Y2 -2x2 – 4x – 4y = 0 e) 28x2 – 36y2 – 1008 = 0
I. Deduzca la ecuación y determine los elementos de las siguientes hipérbolas.