ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA
ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es un conjunto de puntos que determinan una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Centro de la circunferencia: Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia: Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
Círculo y elementos del círculo
Elementos de la circunferencia
Cuerda:Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Segmento AB Fig,1
Diámetro:Cuerda que pasa por el centro. Segmento PQ. Fig.2
Arco:Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita. Arco EF. Fig.3
Semicircunferencia:Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro. Arco GH. Fig.4
Círculo y elementos del círculo
El círculo:es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia. Fig.5
Segmento circular:Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente. Fig.6
Semicírculo:Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo. Fig.7
Semicírculo:Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo. Fig.7
Zona circular:Porción de círculo limitada por dos cuerdas. Fig.8
Sector circular:Porción de círculo limitada por dos radios. Fig.9
Corona circular: Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos. Fig.10
Trapecio circular:Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular. Fig.11
Sector circular:Porción de círculo limitada por dos radios. Fig.9
Corona circular: Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos. Fig.10
Trapecio circular:Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular. Fig.11
Ejercicios
I- Señala la opción correcta:
1) Un ejemplo de circunferencia se puede encontrar en:
a) Un plato b) La tapa de una caja redonda de galletas c) Un aro.
2) En un círculo se mede:
a) La superficie del círculo b) La línea de fuera c) La longitud del círculo.
3) El radio de una circunferencia es:
a) El segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos
b) El segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia
c) Ambas respuestas anteriores son correctas
4) Una cuerda:
a) Es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia
b) Es el que pasa por el centro de la circunferencia y determina un diámetro
c) Ambas respuestas anteriores son correctas.
5) La medida del diámetro es:
a) La mitad que la del radio. b) El doble que la del radio. c) El triple que la del radio.
6) Una semicircunferencia es:
a) Un arco de circunferencia que pasa por el centro de esta
b) Una porción limitada por dos radios
c) Cualquier arco de circunferencia limitado por un diámetro
7) Una porción de pizza recuerda a:
a) Un sector circular b) Una corona circular c) Un arco de circunferencia.
8) Una corona circular puede recordar a:
a) Los radios de una bicicleta c) Un roscón de Reyes. b) Las dos respuestas anteriores son correctas.
9) El diámetro es un caso particular de:
a) Del radio b) Una cuerda c) Un arco.
10)Una cuerda:
a) Determina dos sectores circulares c) Divide a la circunferencia en arcos
b) Ambas respuestas anteriores son correctas.
I- Trazar sobre la circunferencia, lo que se pide: 
1) Un ejemplo de circunferencia se puede encontrar en:
a) Un plato b) La tapa de una caja redonda de galletas c) Un aro.
2) En un círculo se mede:
a) La superficie del círculo b) La línea de fuera c) La longitud del círculo.
3) El radio de una circunferencia es:
a) El segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos
b) El segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia
c) Ambas respuestas anteriores son correctas
4) Una cuerda:
a) Es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia
b) Es el que pasa por el centro de la circunferencia y determina un diámetro
c) Ambas respuestas anteriores son correctas.
5) La medida del diámetro es:
a) La mitad que la del radio. b) El doble que la del radio. c) El triple que la del radio.
6) Una semicircunferencia es:
a) Un arco de circunferencia que pasa por el centro de esta
b) Una porción limitada por dos radios
c) Cualquier arco de circunferencia limitado por un diámetro
7) Una porción de pizza recuerda a:
a) Un sector circular b) Una corona circular c) Un arco de circunferencia.
8) Una corona circular puede recordar a:
a) Los radios de una bicicleta c) Un roscón de Reyes. b) Las dos respuestas anteriores son correctas.
9) El diámetro es un caso particular de:
a) Del radio b) Una cuerda c) Un arco.
10)Una cuerda:
a) Determina dos sectores circulares c) Divide a la circunferencia en arcos
b) Ambas respuestas anteriores son correctas.
I- Trazar sobre la circunferencia, lo que se pide:
1) Tres posiciones distintas de su radio. 2) Un diámetro. 3) Dos cuerdas que no pasen por su centro Fid.
4) Dos secantes que se corten en un punto exterior.
III- Comprobar usando una regla, que el diámetro de la circunferencia biseca a las cuerdas que son perpendiculares a él.
4) Dos secantes que se corten en un punto exterior.
III- Comprobar usando una regla, que el diámetro de la circunferencia biseca a las cuerdas que son perpendiculares a él.
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios CB y CA.
La medida en grado de un arco es igual a la medida de su ángulo central. arco AB = ángulo ACB
Ángulo inscrito: esel ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus rayos son secantes a la circunferencia. Fig.1
Teorema: “la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco intersectado”. m└ APB = (arco AB)/2 Fig.1
Ángulo semi-inscrito:es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a la circunferencia. Fig.2
Teorema: “la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco intersectado”. m└ APB =(AB)/2 Fig.2
Ángulo interior: es el ángulo que tiene su vértice en el interior de la circunferencia y sus lados secantes a la circunferencia. Fig.3
Teorema: “la medida de un ángulo interior de una circunferencia es igual a la
mitad de la suma de los arcos intersectados”. m└ θ= (arco AB + arco CF)/2 Fig.3
mitad de la suma de los arcos intersectados”. m└ θ= (arco AB + arco CF)/2 Fig.3
Ángulo exterior: es el ángulo que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y sus lados pueden ser:
a) Secantes a la circunferencia
a) Secantes a la circunferencia
b) Tangente a la circunferencia
c) Uno tangente y otro secante
Teorema: “la medida de un ángulo exterior es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos intersectados”. m└APB = (arco AB - DE)/2
Ejercicios
Elige la opción correcta:
3. Posiciones relativas de dos circunferencias:
1) Dos cuadrantes consecutivos forman un ángulo central de...
a) 45º b) 90º c) 180º
2) La medida del arco que se define al trazar el ángulo anterior es de...
a) 180º b) 360º c) 90º
3) Un ángulo inscrito que abarca un arco de 30°...
a) 30º b) 60º c) 15º
4) Un ángulo inscrito de 20º define un arco de...
a) 40º b) 20º c) 10º
5) Los lados y las prolongaciones de un ángulo interior forman un arco de 130° y otro de 60°, entonces dicho ángulo mide...
a) 95º b) 30º c) 190º
6) La diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan los lados de un ángulo sobre la circunferencia es de 70°, entonces la medida del ángulo es...
a) 140º b) 35 c) No se puede resolver el problema.
7) Uno de los arcos que abarcan los lados de un ángulo exterior sobre la circunferencia es de 70°, entonces la medida del ángulo es...
a) 35º b) 70º c) no se puede resolver el problema.
8) El arco menor que define un ángulo exterior sobre la circunferencia es de 50° y la medida de dicho ángulo es de 30°, entonces la medida del otro arco que describe dicho ángulo es de...
a) 15º b) 40º c) 110º
9) Si un ángulo semi-inscrito mide 82°, el arco que forma mide...
a) 41º b) 82º c) 164º
10) Un ángulo interior mide 60° y uno de los arcos que determina es de 40°, entonces el otro arco mide...
a) 100º c) Es necesitarío saber si el arco dado es el mayor o el menor. b) 80º
La circunferencia de la figura 1 se ha dividido en 6 partes iguales, calcula la medida del ángulo interior
Resuelve en cada caso lo siguiente:
1) Si se divide una circunferencia en 5 arcos iguales
a) ¿cuánto mide cada uno de esos arcos?
b) ¿Cuánto cada uno de los ángulos centrales correspondientes a dichos arcos?
2) Si dividimos la circunferencia en partes iguales y el ángulo central de cada una de las partes es de 36º, ¿en cuántas partes se ha dividido la circunferencia?
3) En cada figura determina las medidas de los ángulos que faltan:
3) En cada figura determina las medidas de los ángulos que faltan:
1) Calcula los ángulos inscritos de las siguientes figuras
1) Hacer lo que se te pide
La circunferencia de la figura 1 se ha dividido en 6 partes iguales, calcula la medida del ángulo interior
b) En la siguiente circunferencia de la figura 2 se muestran las medidas de los arcos de un ángulo interior y su opuesto. Calcula la medida del ángulo.
Posiciones relativas de circunferencias
Las posiciones relativas a analizar son:
I. posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
II. posiciones relativas de una recta respecto a una circunferencia
III. posiciones relativas de dos circunferencias
1. posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
a) cuando el punto se encuentra en el interior de la circunferencia: la distancia de punto al centro es menor que la longitud del radio. Fig. 1
b) cuando el punto está en el interior de la circunferencia: la distancia del punto al centro es igual a la longitud del radio. Fig. 2
c) cuando el punto se encuentra en el exterior de la circunferencia: la distancia de punto al centro es mayor que la longitud del radio. Fig. 3
2. posiciones relativas de una recta respecto a una circunferencia
a) Cuando la recta corta a la circunferencia en dos puntos: en este caso se dice que la recta es secante a la circunferencia. Fig. 1
b) Cuando la recta toca a la circunferencia en un solo punto: en este caso se dice que la recta es tangente a la circunferencia. Fig. 2
c) Cuando la recta no toca a la circunferencia: en este caso se dice que la recta es exterior a la circunferencia. Fig. 3
3. Posiciones relativas de dos circunferencias:
a) Exteriores: las circunferencias no tienen puntos comunes y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. Fig.1
b) Interiores: las circunferencias no tienen puntos comunes y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios. Fig.2
c) Concéntricas: las circunferencias no tienen puntos comunes y sus centros son iguales. Fig.3
Cuando las circunferencias tienen uno o dos puntos comunes:
a) Tangentes Exteriores: T representa el punto de tangencia y la distancia entre los centros equivale a la suma de los radios Fig. 1
b) Tangentes Interiores: T representa el punto de tangencia y la distancia entre los centros equivale a la diferencia de los radios Fig. 2
c) Secantes: las circunferencias cortan en dos puntos diferentes en este caso A y B, la distancia entre los centros equivale a la diferencia de los radios. Fig. 3
Ejercicios
Escribe el valor de verdad de cada expresión y haga un gráfico de ser necesario:
1) En una misma circunferencia, los arcos comprendidos entre rectas paralelas son iguales. ___
2) Un arco es la porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. ___
3) Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a esta y al arco comprendido en partes iguales. ___
4) En una circunferencia, a arcos iguales corresponden cuerdas iguales. ___
5) Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado desde el punto de tangencia. ___
6) Todos los semicírculos son iguales. ___
7) El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. ___
8) Toda cuerda es un diámetro. ___
9) Un punto representa una única posición respecto a una circunferencia. ___
10) Una recta tangente a una circunferencia tiene dos puntos comunes con esta. ___
11) Una recta secante tiene un punto común con esta. ___
12) Una recta que pasa por dos puntos exteriores a una circunferencia puede ser interior, exterior o tangente a esta. ___
13) Dos circunferencias secantes se cortan en dos puntos. ___
14) Dos circunferencias que se cortan en un único punto son tangentes interiores. ___
15) Las posiciones de dos circunferencias que no implican puntos en común son concéntricas, interiores y exteriores. ___
Lúnula de Hipócrates
Demostración del área de la Lúnula de Hipócrates
Leyenda: Hipotenusa del triángulo ▲EDF: h = L√2; Radio de la región circular R2
(Semicircunferencia): r = (L√2)/2; Región R1 (sector circular).
Para demostración se aplica el teorema de Pitágoras - Tales de Mileto de las regiones semejantes construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo.
Teorema: “Si se construyen figuras semejantes sobre los lados de un triángulo rectángulo, el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras construidas sobre los catetos”.
Área de la región AR2: Como la región circular es un semicírculo de radio (L√2)/2,su área será: → AR2 = (1/2)π(L√2/2)2 → AR2 = 1/4ΠL2
Área de la región AR1: Como la región circular es un sector circular de radio L y ángulo 90°, su área será: AR1 = (θ/360°)πL2 → AR1 = (90°/360°)πL2 → AR1 = 1/4πL2
Área del triángulo ▲EDF(A▲) → A▲ = L x L/2 → A▲ = L2/2
Como AR1 = A▲ + A1 → A1 = AR1 - A▲ → A1 = 1/4πL2 - L2/2
A1 = πL2/4 - 2L2/4 → A1 = 1/4(πL2 - 2L2)
Se sabe que AR2 = A1 + A2 → A2 = AR2 – A1
Se puede observar que el área de la Lúnula A2 es exactamente igual al área del triángulo ▲EDF.
b) Interiores: las circunferencias no tienen puntos comunes y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios. Fig.2
c) Concéntricas: las circunferencias no tienen puntos comunes y sus centros son iguales. Fig.3
Cuando las circunferencias tienen uno o dos puntos comunes:
Cuando las circunferencias tienen uno o dos puntos comunes:
a) Tangentes Exteriores: T representa el punto de tangencia y la distancia entre los centros equivale a la suma de los radios Fig. 1
b) Tangentes Interiores: T representa el punto de tangencia y la distancia entre los centros equivale a la diferencia de los radios Fig. 2
c) Secantes: las circunferencias cortan en dos puntos diferentes en este caso A y B, la distancia entre los centros equivale a la diferencia de los radios. Fig. 3
Ejercicios
Escribe el valor de verdad de cada expresión y haga un gráfico de ser necesario:
Lúnula de Hipócrates
1) En una misma circunferencia, los arcos comprendidos entre rectas paralelas son iguales. ___
2) Un arco es la porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. ___
3) Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a esta y al arco comprendido en partes iguales. ___
4) En una circunferencia, a arcos iguales corresponden cuerdas iguales. ___
5) Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado desde el punto de tangencia. ___
6) Todos los semicírculos son iguales. ___
7) El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. ___
8) Toda cuerda es un diámetro. ___
9) Un punto representa una única posición respecto a una circunferencia. ___
10) Una recta tangente a una circunferencia tiene dos puntos comunes con esta. ___
11) Una recta secante tiene un punto común con esta. ___
12) Una recta que pasa por dos puntos exteriores a una circunferencia puede ser interior, exterior o tangente a esta. ___
13) Dos circunferencias secantes se cortan en dos puntos. ___
14) Dos circunferencias que se cortan en un único punto son tangentes interiores. ___
15) Las posiciones de dos circunferencias que no implican puntos en común son concéntricas, interiores y exteriores. ___
Lúnula de Hipócrates
Demostración del área de la Lúnula de Hipócrates
Leyenda: Hipotenusa del triángulo ▲EDF: h = L√2; Radio de la región circular R2
(Semicircunferencia): r = (L√2)/2; Región R1 (sector circular).
Para demostración se aplica el teorema de Pitágoras - Tales de Mileto de las regiones semejantes construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo.
Teorema: “Si se construyen figuras semejantes sobre los lados de un triángulo rectángulo, el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras construidas sobre los catetos”.
Área de la región AR2: Como la región circular
Área de la región AR1: Como la región circular
Área del triángulo ▲EDF(A▲) → A▲ = L x L/2 → A▲ = L2/2
Como AR1 = A▲ + A1 → A1 = AR1 - A▲ → A1 = 1/4πL2 - L2/2
A1 = πL2/4 - 2L2/4 → A1 = 1/4(πL2 - 2L2)
Se sabe que AR2 = A1 + A2 → A2 = AR2 – A1
Se puede observar que el área de la Lúnula A2 es exactamente igual al área del triángulo ▲EDF.