Parábola y Sus Ecuaciones
La parábola y sus ecuaciones.
Definición: es el lugar geométrico de los puntos que se mueven en un plano, de tal manera que están siempre a la misma distancia de un punto fijo llamado “Foco” y de una recta fija llamada “Directriz”, situados en el mismo plano.
Elementos de la parábola:
a) Vértice: es el punto donde se inicia la parábola
2. Foco: es el punto del cual equidistan todos los puntos de la parábola
3. Distancia focal: es la longitud que hay del vértice al foco de la parábola.
4. Directriz: es la recta que se encuentra a la misma distancia del vértice con respecto al foco pero en sentido contrario.
5. Eje focal: es el eje que contiene el foco de la parábola.
6. Lado recto: es el Valor absoluto del segmento perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, es decir, indica el ancho de la parábola.
7. Excentricidad, parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. La excentricidad de una parábola es igual a “1”
Ecuación de una parábola con eje focal el eje horizontal F(P,0) y vértice el rigen V(0,0).
Sea la parábola
La distancia de un punto cualquiera de la parábola al foco es igual y perpendicular a la distancia del punto a la recta directriz. d1=d2
1. Para una parábola horizontal, es decir, con eje focal el eje “x”
a) Si la distancia focal es positiva (P>0), la parábola abre hacia la derecha.
b) Si la distancia focal es negativa (P<0) , la parábola abre hacia la izquierda.
I. Determinar en cada caso, el foco y la ecuación de la parábola dada la directriz y el vértice. Hacer gráfica
1.- Directriz X = -3; Vértice (0,0)
Solución
Como la directriz pasa por x = -3 y la parábola tiene vértice V(0,0) el foco está a 3 unidades del vértice en sentido contrario a la directriz, sus coordenadas son F(P,0). Esto es la distancia focal P=3.
LR = [ 4p] LR = [ 12 ]
LR = [ 4(3)] LR = 12
Nota: el corchete indica en este caso valor absoluto
Se sabe que la ecuación ordinaria de una parábola con eje focal el eje “x” es y^2 = 4Px.
y^2 = 4px ⇒ y^2 = 4(3)x → y^2 = 12x
y^2 = 12x
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| +y | 3.5 | 4.9 | 6 | 6.9 | 7.7 | 8.5 |
| -y | -3.5 | -4.9 | -6 | -6.9 | -7.7 | -8.5 |
y = ± (12x)^½
y = ± [12(1)]^½
y = ± (12)^½ → y = ± 3.5
y = ± [12(2)]^½
y = ± (24)^½ → y = ± 4.9
............................................................................................, etc.
2. Directriz x = 4; V(0,0)
Para una parábola de eje focal el eje "Y", Vértice V(0,0) y foco F(0,p).
Demostración
2. Para una parábola vertical, es decir, con eje focal el eje “y”
a) Si la distancia focal es positiva (p > 0), la parábola abre hacia la derecha.
b) Si la distancia focal es negativa (p < 0), la parábola abre hacia la izquierda.
Determinar el foco y la ecuación de una parábola si la directriz es y = 5 y el vértice es V(0,0)
Como la directriz pasa por y = 5 y la parábola tiene vértice V(0,0) el foco está a - 5 unidades del vértice en sentido contrario a la directriz, sus coordenadas son F(0,-5). Esto es la distancia focal P = 5.
En vista que el vértice es el punto V(0,0) y la distancia focal negativa, entonces la parábola abre hacia abajo.
La ecuación ordinaria de una parábola vertical, es decir, con eje focal eje el “y” es
x^2 = 4py.
Para hallar la ecuación solo basta con sustituir p = -5 en la ecuación ordinaria.
x^2 = 4py
x^2 = 4(- 5)y
x^2 = - 20y
para hacer la gráfica de la parábola:
- se despeja la x de la ecuación ordinaria
- se asignan valores a la variable "y"
- se una tabla con los valores obtenidos.
x^2 = -20y
(x^2)^½ = ±(-20y)^½
x = ±(-20y)^½
Nota: los valores asignados a y deben ser 0 los negativos
si y = 0
| y | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 |
| +x | 0 | +4.5 | +6.3 | +7.7 | +8.9 | +10 |
| -x | 0 | -4.5 | -6.3 | -7.7 | -8.9 | -10 |
x = ±[-20(0)]^½
x = ±[0]^½ ⇒ x = 0
Si y = -1
x = ±[-20(-1)]^½
x = ±[20]^½ ⇒ x = ±4.5
Si y = -2
x = ±[-20(-2)]^½
x = ±[40]^½ ⇒ x = ±6.3
................................................................., etc.
Gráfica
Ejercicios
I. Determine la distancia focal, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para cada una de las parábolas.
a) y^2 = 2x b) y^2 = -8x c) x^2 = 6y d) x^2 = ½y
II. Deduzca la ecuación de la parábola que tenga las propiedades citadas y trace la gráfica.
a) Foco F(0,3); Vértice V(0,0) b) Foco F(2,0); Vértice V(0,0) c) Foco F(4,0); Directriz x = -4 d) Directriz y = -2; Vértice V(0,0) e) Vértice V(0,0); Eje focal eje "X" y pasa por el punto M(-3,6)
III. Deduzca la ecuación y trace la recta directriz de la parábola del gráfico.
Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el punto (h,k) y eje focal el eje “x” (Parábola Horizontal)
Cuando la parábola se traslada “h” unidades horizontalmente y “k” unidades verticalmente los elementos cambian:
a) La ecuación y^2 = 4px ⇒ (y - k)^2 = 4p(x - h) b) El vértice V(0,0) ⇒ V(h,k) c) El foco F(p,o) ⇒ F(h+p,k) d) La recta directriz x = -p ⇒ x = h - p e) El eje focal y = 0 ⇒ y = k
La ecuación para una parábola horizontal con centro en el punto (h,k) es (h - k)^2 = 4p(x - h)
Ejemplo 1. Encontrar los elementos de la parábola dada la ecuación (y - 2)^2 = 12(x - 3)
Datos importantes obtener:
a) El valor de p.
b) El valor de h.
c) El valor de k.
d) Saber si la parábola es horizontal o vertical ( H/V )
Los elementos a encontrar son:
a) El vértice b) El foco c) La directriz d) Lado recto y e) El eje
Solución
1ro. Identificar si la parábola es horizontal o vertical.
Parábola horizontal Parábola Vertical
(y - k)^2 = 4p(x - h) (x - h)^2 = 4p(y - k)
En este caso la parábola es horizontal, ya que comparando se obtiene:
(y - 2)^2 = 12(x - 3) ⇒ (y - k)^2 = 4p(x - h), sustituyendo k = 2; h = 3
El valor la distancia focal 4p = 12 despejando p
p = 12/4 ⇒ p = 3
a) Coordenadas del vértice b) Coordenadas del foco
V(h,k) ⇒ V(3,2) F(h + p.k) ⇒ F(3 + 3,2) ⇒ F(6,2)
c) Valor del lado recto d) Ecuación de la directriz
LR = |4p| ⇒ LR = |4(3)| x = h - p ⇒ x = 3 - 3
LR = |16| ⇒ LR = 12 x = 0
e) Ecuación del eje de la parábola
y = k ⇒ y = 2
Gráfica
Para trazar la gráfica se parte de la ecuación de la parábola (y - k)^2 = 4p(x - h) y se despeja la variable “y” Los valores asignado a la variable x deben ser mayores o iguales que h Los calculos y la tabla se deja como tarea.
Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el punto V(h,k) y eje focal el eje “y” (Parábola Vertical)
Cuando la parábola x^2 = 4py se traslada “h” unidades horizontalmente y “k” unidades verticalmente los elementos cambian de:
a) La ecuación x^2 = 4py ⇒ (x - h)^2 = 4p(y - k)
b) El vértice V(0,0) ⇒ V(h,k)
c) El foco F(0,p) ⇒ F(h,k+p)
d) La recta directriz y = - p ⇒ y = k - p
e) El eje focal x = 0 ⇒ x = h
La ecuación de la parábola vertical es (x - h)^2 = 4p(y - k)
Ejemplo 2. Encontrar los elementos de la parábola dada la ecuación (x - 3/4)^2 = 6(y + 7/5)
La ecuación dada (x - 3/4)^2 = 6(y + 7/5) tiene la forma (x - h)^2 = 4p(y - k). Por tanto la parábola es vertical y h = 3/4; k = - 7/5
Al comparar la ecuación de la parábola dada y la ecuación de la parábola vertical se puede observar que 4p = 6 ⇒ p = 6/4
Cálculo de los elementos:
a) Coordenadas del vértice b) Ecuación de la directriz
V(h,k) ⇒ V(3/4, - 7/5) y = k - p ⇒ -7/5 - 6/4 ► y = - 29/10
c) Coordenadas del foco d) Valor del lado recto
e) Ecuación del eje de la parábola
x = h ⇒ x = 3/4
Gráfica
Ejemplo 3. Dado el foco F(- 3, 2) y vértice V(- 3/2, 2) deducir la ecuación estándar de la parábola.
El vértice V(h, k) por tanto h = - 3/2 y k = 2
h + p = - 3 ⇒ p = - 3 - h; p = - 3 - (- 3/2) ⇒ p = - 3 + 3/2 ► p = - 3/2
La ecuacion de la directriz
x = h - p ⇒ x = - 3/2 - (- 3/2); x = - 3/2 + 3/2 ► x = 0
El lado recto de la parábola
LR = |4p| ⇒ LR = |4(-3/2)| ; LR = |- 12/2| ► LR = 6
Como la parábola es horizontal la ecuación tiene la forma (y - k)^2 = 4p(x - h) y sustituyendo resulta:
(y - 2)^2 = 4(-3/2)[x - (- 3/2)] ⇒ (y - 2)^2 = - 12/2(x + 3/2) ► (y - 2)^2 = - 6(x + 3/2)
Gráfica
I. Determine las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz en cada parábola.
1. - 9(x - 2) = 6y^2 2. 1/2(x) = 1/8(y + 2)^2 3. (x - 4)^2 = - 1/3(y + 5) 4. y - 1 = - 3/2(x - 3)^2
II. Deduzca la ecuación de la parábola con los datos dados. Hacer la gráfica.
1. Foco F(- 3/4, 2) ; Directriz x = 3/4
2. Foco F(1, - 3) ; Vértice V(- 1, - 3)
3. Directriz x = 13/2 ; Vértice V(5, 0)
III. Deduzca la ecuación de la parábola y de la directriz, dadas las gráficas.
Ecuación General de la cónica.
La ecuación general de cualquier cónica vista anteriormente es Ax^2 + By^2 +Cxy +Dx +Ey + F = 0
Comparando con la ecuación de la parábola horizontal se tiene: (y - k)^2 = 4p(x - h) y desarrillando
(y)^2 - 2(y)(k) + (k)^2 = 4px - 4ph ⇒ y^2 - 2ky + k^2 = 4px - 4ph ► y^2 - 2ky + k^2 - 4px + 4ph = 0.
Los términos Ax^2 + Cxy no están en la ecuación de la parábola, la expresión Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
se reduce a By^2 + Dx + Ey + F = 0
y^2 - 2ky + k^2 - 4px + 4ph = 0 resulta: By^2 = y^2; D = - 4p; E = - 2k; F = 4ph + k^2 despejando p, k y h
a) p = - D/4 b) k = - E/2 c) 4ph = F - k^2 ► h = (F - k^2)/4p
I. Encuentra los elementos, la ecuación ordinaria de la parábola y hacer gráfica dada la ecuación general.
a) y^2 - 12x - 8y - 20 = 0 b) x^2 - 2x - 2y - 7 = 0
Desarrollado
a) p = - D /4 ⇒ p = -(-12)/4 ► p = 3 k = - E/2 ⇒ k = - (-8)/2 ► k = 4
h = (F - k^2)/4p ⇒ h = [-20 - (4)^2]/4(3); h = (- 20 - 16)/12 ⇒ h = - 36/12 ► h = - 3
Elementos:
a) Vértice V(h, k) ⇒ V(- 3, 4) b) Foco F(h + p, k) ⇒ F(- 3 + 3, 4) ► F(0, 4)
c) LR = |4p| ⇒ LR = |4(3)|; LR = |12| ► LR = 12 d) Directriz x = h - p ⇒ x = - 3 - 3 ► x = - 6
e) Ecuacion del eje y = k ► y = 4
f) Ecuación de la parábola (y - k)^2 = 4p(x - h) ⇒ (y - 4)^2 = 4(3)[x - (- 3)] ► (y - 4)^2 = 12(x + 3)
b) x^2 - 2x - 2y - 7 = 0
En esta ecuación el término By^2 y Cxy no existe por tanto la ecuación queda reducida a Ax^2 + Dx + Ey +F = 0 que representa una parábola vertical.
Así (x - h)^2 = 4p(y - k) desarrollando x^2 - 2xh + h^2 = 4py - 4pk ordenando x^2 - 2xh + h^2 - 4py + 4pk = 0
a) D = - 2hx ⇒ h = - D/2 ⇒ h = - (- 2)/2 ► h = 1 b) E = - 4p ⇒ p = - E/4 ⇒ p = - (- 2)/4 ► p = 0.5
c) F = h^2 + 4pk despejando k resulta k = (F - h^2)/4p ⇒ k = (- 7 - 1)/4(0.5) ⇒ k = - 8/2 ► k = - 4
Elementos:
a) Vértice V(h,k) ⇒ V(1, - 4) b) Foco F(h, k + p) ⇒F(1, - 4 + 0.5) ► F(1, - 3.5)
c) Directriz y = k - p ⇒ y = - 4 - 0.5 ► y = - 4.5 d) Lado recto LR = |4p| ⇒ LR = |4(0.5)| ⇒ LR = |2| ► LR = 2
e) Ecuación de eje x = h ► x = 1
f) Ecuación de la parábola (x - h)^2 = 4p(y - k) ⇒ (x - 1)^2 = 4(0.5)[y - (- 4)] ► (x - 1)^2 = 2(y + 4)
Determine los elementos: vértice, foco, lado recto, directriz, ecuación del eje y la ecuación de la parábola en cada caso. hacer la gráfica.
a) 12x^2 - 24x - y + 16 = 0 b) - 6y^2 - x - 24y - 47/2 = 0
c) 6y^2 + 36y + 5x + 29 = 0 d) 3x^2 - 12x - 7y + 33 = 0
Gracias por la sugerencia y la descarga