Elipse con centro exterior al origen
Elipse con centro exterior al origen
Centro: el punto C (h, k); a > b
Coordenadas de los focos para una elipse horizontal F (h ± c, k)
La ecuación de una elipse horizontal de centro C(h,k) y focos F (h ± c, k) es
(x - h) 2/a2 + (y - k) 2/b2 = 1
Ejemplo:
1. Obtener los elementos y hacer la gráfica de la elipse que representa la ecuación (x – 3)2/9 + (y - 1)2/4 = 1
Solución
a) Centro C (3, 1)
b) Valor del semieje mayor a2 = 9 → √a2 = ±√9 → a = ± 3
c) Valor del semieje menor b2 = 4 → √b2 = ± √4 → b = ±2
d) Por el teorema de Pitágoras se calcula c
C2 = a2 – b2 → c2 = (3)2 – (2)2
C2 = 9 – 4 → c2 = 5
√c2 = ±√5 → c = ±√5
e) Longitud del eje mayor
VV´= 2a → VV´ = 2(3) → VV´= 6
f) Longitud del eje menor
BB´= 2b → BB´ = 2(2) → BB´ = 4 g) Coordenadas de los focos F (h ± c, k)
F (h + c, k) → F (3+√5, 1)
F (3+2.24, 1) → F (5.24, 1)
F´ (h-c, k) → F´ (3-√5, 1) F´ (3-2.24, 1) → F´ (0.76, 1)
Gráfica
Elipse con centro C (h, k) y semieje mayor sobre el eje “Y”
Centro: el punto C (h, k); a > b
Coordenadas de los focos para una elipse vertical: F(h, k + c) y F´(h, k – c)
Coordenadas de los focos para una elipse vertical: F(h, k + c) y F´(h, k – c)
La ecuación de una elipse vertical de centro C(h, k) y focos F (h, k ± c) es (x – h) 2/b2 + (y – k) 2/a2 = 1
Ejemplo
Determina todos los elementos de la elipse, cuya ecuación es (x – 2)2/9 + (y – 4)2/18 = 1
Como el mayor denominador esta debajo de “y”, entonces la elipse es vertical.
Centro C (h, k) → (2, 4)
a2 = 18 → √a2 = ±√18 → a = ± 4.24
b2 = 9 → √b2 = ± √9 → b = ± 3
c2 = a2 – b2 → c2 = (4.24)2 – (3)2
c2 = 18 – 9 → c2 = 9
√c2 = ±√9 → c = ± 3
Longitud del eje mayor
VV´ = 2ª → VV´ = 2(4.24) → VV´ = 8.48
Longitud del eje menor
BB´ = 2b → BB´ = 2(3) → BB´ = 6
Grafica
Lado recto
LR = 2b2/a → LR = 2(3)2/4.24
LR = 2(9)/4.24 → LR = 18/4.24 → LR = 4.25
Excentricidad
e = c/a → e = 3/4.24 → e = 0.71
Grafica
Dada la ecuación general de la elipse con centro (h, k) donde h,k ≠ 0, encontrar la ecuación ordinaria.
Procedimientos:
1. Se agrupan los términos de una misma variable.
2. Se multiplican y dividen los términos agrupados por el coeficiente del término cuadrático.
3. Se completa cuadrado dentro de los paréntesis, para esto:
a) Se agrega el cuadrado de la mitad del término lineal
b) Se resta el producto del término agregado por el coeficiente del paréntesis.
c) Se realizan las operaciones indicadas y se simplifica.
4. Se factorizan las expresiones dentro de los paréntesis, resultando dos binomios cuadrados.
5. Se divide toda la ecuación por el coeficiente del primer paréntesis y luego toda la ecuación por el coeficiente del 2do paréntesis.
6. Al operar en el paso anterior resulta la ecuación ordinaria buscada.
Determinar la ecuación ordinaria que corresponde a la ecuación general
4x2 – 32x + 9y2 – 54y + 109 = 0
Solución
4x2 – 32x + 9y2 – 54y + 109 = 0 → (4x2 – 32x) + (9y2 – 54y) + 109 = 0
4[4/4(x2) – 32/4(x)] + 9[9/9(y2) – 54/9(y)] + 109 = 0
4(x2 – 8x) + 9(y2 – 6y) + 109 = 0
4[x2 – 8x + (8/2)2] – 4(8/2)2 + 9[y2 – 6y + (6/2)2] – 9(6/2)2 + 109 = 0
4(x2 – 8x + 16) – 64 + 9(y2 – 6y + 9) – 81 + 109 = 0
4(x – 4)2 + 9(y – 3)2 – 145 + 109 = 0 → 4(x – 4)2 + 9(y – 3)2 – 36 = 0
4/4(x – 4)2 + 9/4(y – 3)2 – 36/4 = 0 → (x – 4)2 + 9/4(y – 3)2 – 9 = 0
1/9(x – 4)2 +(1/9) (9/4)[y – 3]2 – (1/9)(9) =0 → (x – 4)2/9 + (y – 3)2/4 –1 = 0
(x – 4)2/9 + (y – 3)2/4 = 1 Ecuación ordinaria pedida que corresponde una elipse horizontal, ya que el mayor denominador esta debajo de la x.
El procedimiento para calcular sus elementos y hacer la gráfica fue explicado anteriormente.
Ejercicios:
I. Determine todos los elementos y haga la gráfica de la elipse cuya ecuación ordinaria es:
a) X2/7 + (y + 5)2/11 = 1 b) (x + ½)2 + (y – 2)2 = 1
II. Escriba la ecuación ordinaria de cada elipse. Determine las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y haga la gráfica en cada caso.
I. Determine todos los elementos y haga la gráfica de la elipse cuya ecuación ordinaria es:
a) X2/7 + (y + 5)2/11 = 1 b) (x + ½)2 + (y – 2)2 = 1
II. Escriba la ecuación ordinaria de cada elipse. Determine las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y haga la gráfica en cada caso.
1. 25x2 + y2 – 12y – 11 = 0 4. X2 + 4x + 9y2 – 5 = 0
2. 16x2 – 32x + 9y2 – 72y – 16 = 0 5. 4x2 – 16x + 9y2 + 18y + 11 = 0
3. 5. 4x2 + 24x + 13y2 – 26y – 3 = 0
III. Escriba la ecuación de la elipse de cada figura.