Analítica de la circunferencia II
6) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (3,-5) y es tangente al eje de abscisas. Así P(x,y) → P(3,0)
r = d(C,P) → r=√(x2 –x1)2+(y2 – y1)2 → r = √(3 – 3)2 + (-5 – 0)2 → r = √(0)2 + (-5)2 r = √25 → r = 5
r = d(C,P) → r=√(x2 –x1)2+(y2 – y1)2 → r = √(3 – 3)2 + (-5 – 0)2 → r = √(0)2 + (-5)2 r = √25 → r = 5
Ecuación ordinaria de la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x – 3)2 + (y + 5)2 = 25
Ecuación general de la circunferencia x2 + y2 + Dx + Ey + C = 0
D = -2h → D = -2(3) → D = -6 ; E = -2k → E = -2(-5) → E = 10
C = (D/-2)2 + (E/-2)2 – r2 → C = (-6/-2)2 + (10/-2)2 –(5)2
C = (3)2 + (-5)2 – 25 → C = 9 + 25 – 25 → C = 9 Sustituyendo x2 + y2 – 6x + 10y + 9 = 0
Ecuación general de la circunferencia x2 + y2 + Dx + Ey + C = 0
D = -2h → D = -2(3) → D = -6 ; E = -2k → E = -2(-5) → E = 10
C = (D/-2)2 + (E/-2)2 – r2 → C = (-6/-2)2 + (10/-2)2 –(5)2
C = (3)2 + (-5)2 – 25 → C = 9 + 25 – 25 → C = 9 Sustituyendo x2 + y2 – 6x + 10y + 9 = 0
7) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-2, 4) y es tangente al eje de ordenadas.
P(x,y) → P(0, 4)
r = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 → r = √(-2 – 0)2 + (4 – 4)2
r = √(-2)2 + (0)2 → r = √4 → r = 2
Ecuación ordinaria: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x + 2)2 + (y - 4)2 = 4
P(x,y) → P(0, 4)
r = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 → r = √(-2 – 0)2 + (4 – 4)2
r = √(-2)2 + (0)2 → r = √4 → r = 2
Ecuación ordinaria: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x + 2)2 + (y - 4)2 = 4
8) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de las rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
L1: x + 3y + 3 = 0 L1: x + 3y + 3 = 0
Para x = o → 0 + 3y + 3 = 0 para y =0 → x +3(0) + 3 =0
3y = -3 → y = -1 → A(0, -1) x = -3 → B(-3, 0)
L1: x + 3y + 3 = 0 L1: x + 3y + 3 = 0
Para x = o → 0 + 3y + 3 = 0 para y =0 → x +3(0) + 3 =0
3y = -3 → y = -1 → A(0, -1) x = -3 → B(-3, 0)
L2: x + y + 1 = 0 L2: x + y + 1 = 0
Para x = 0 → 0 + y + 1 = 0 para y = 0 → x + 0 + 1 = 0
Y = -1 → C(0, -1) x = -1 → D(-1, 0)
Y = -1 → C(0, -1) x = -1 → D(-1, 0)
9) Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0, y que pasa por el punto (-3,4).
a) Centro D = -3; E = 2; D = -2h → h = D/-2 E = -2k → k = E/-2
h = -6/-2 → h = 3 k = 2/-2 → k = -1 ► C = (3, -1)
a) Centro D = -3; E = 2; D = -2h → h = D/-2 E = -2k → k = E/-2
h = -6/-2 → h = 3 k = 2/-2 → k = -1 ► C = (3, -1)
r = d =
√(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 → r = √(-3 – 3)2 + [4 –(-1 )]2
r = √(-6)2 + (4 + 1)2 → √36 + (5)2 → r = √36 + (5)2; r = √36 + 25 → r = √61 → r = 7.8
b) Ecuación ordinaria:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x - 3)2 + (y + 1)2 = 61
c) Ecuación general
D = -6; E = 2; C = h2 + k2 – r2 → C = (3)2 + (-1)2 – (7.8)2
C = 9 + 1 – 61 → C = - 51 por tanto X2 + y2 – 6x+ 2y – 51
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x - 3)2 + (y + 1)2 = 61
c) Ecuación general
D = -6; E = 2; C = h2 + k2 – r2 → C = (3)2 + (-1)2 – (7.8)2
C = 9 + 1 – 61 → C = - 51 por tanto X2 + y2 – 6x+ 2y – 51
10) Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?
a) Se determina la longitud del diámetro y se divide entre dos para obtener el radio, ya que el radio es la mitad del diámetro.
d = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 → d = √(-5 – 3)2 + (3– 1)2 ; d = √(-8)2 + (2)2 → d = √64 + 4 ;
d = √68 → d = 8.2
Cálculo del radio r = d/2 → r = 8.2/2 → r = 4.1
b) Coordenadas del centro; Ce = [(-5 + 3)/2, (3 + 1)/2] → Ce = (-2/2, 4/2) → Ce = (-1, 2)
c) Calculo de D y E; D = -2h → D = -2(-1) → D = 2 ; E = -2k → E = -2(2) → E = -4
d) Calculo de C; C = (h)2 + (k)2 – r2 → C = (-1)2 + (2)2 – (4.1)2; C = 1 + 4 – 16.81 → C = -12
a) Se determina la longitud del diámetro y se divide entre dos para obtener el radio, ya que el radio es la mitad del diámetro.
d = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 → d = √(-5 – 3)2 + (3– 1)2 ; d = √(-8)2 + (2)2 → d = √64 + 4 ;
d = √68 → d = 8.2
Cálculo del radio r = d/2 → r = 8.2/2 → r = 4.1
b) Coordenadas del centro; Ce = [(-5 + 3)/2, (3 + 1)/2] → Ce = (-2/2, 4/2) → Ce = (-1, 2)
c) Calculo de D y E; D = -2h → D = -2(-1) → D = 2 ; E = -2k → E = -2(2) → E = -4
d) Calculo de C; C = (h)2 + (k)2 – r2 → C = (-1)2 + (2)2 – (4.1)2; C = 1 + 4 – 16.81 → C = -12
e) Ecuación ordinaria (x – h)2 + (y – k)2 = r2 → [x – (-1)]2 + (y – 2)2 = (4.1)2 → (x + 1)2 + (y – 2)2 = 17
f) Ecuación general: X2 + y2 + Dx + Ey + C = 0 → X2 + y2 + 2x – 4y – 12 = 0
f) Ecuación general: X2 + y2 + Dx + Ey + C = 0 → X2 + y2 + 2x – 4y – 12 = 0
11) Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 que
sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.
a) Centro de la circunferencia
D =-2h → h =D/-2 → h =-4/-2 → h =2; E =-2k → k =E/-2 → k =6/-2 → k =-3 → C(2,-3)
a) Centro de la circunferencia
D =-2h → h =D/-2 → h =-4/-2 → h =2; E =-2k → k =E/-2 → k =6/-2 → k =-3 → C(2,-3)
Para calcular el radio de la circunferencia , se multiplican los valores de h, k por los coeficientes de A y B de la ecuación de la recta, se le suma o resta el término independiente (C) de la ecuación de la recta y se divide por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B de la recta.
Esto es r = (h*A ± k*B) ±C/ (√A2+B2)
r = (h*A ± k*B) ±C/ (√A2+B2) → r = [2(3) – 4(-3)] +7/ [√(3)2+(4)2]
r = [6 +12] +7/ [√9+16] → r = 25/ √25 → r = 25/ 5 → r = 5
Ecuación general de la circunferencia
Se sabe que en la ecuación de la circunferencia dada D =- 4 y E = 6
Cálculo de C: C = h2 + k2 – r2 → C = (2)2 + (-3)2 – (5)2 → C = 4 + 9 – 25 → C = -12 sustituyendo
X2 + y2 + Dx + Ey + C = 0 → X2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Esto es r = (h*A ± k*B) ±C/ (√A2+B2)
r = (h*A ± k*B) ±C/ (√A2+B2) → r = [2(3) – 4(-3)] +7/ [√(3)2+(4)2]
r = [6 +12] +7/ [√9+16] → r = 25/ √25 → r = 25/ 5 → r = 5
Ecuación general de la circunferencia
Se sabe que en la ecuación de la circunferencia dada D =- 4 y E = 6
Cálculo de C: C = h2 + k2 – r2 → C = (2)2 + (-3)2 – (5)2 → C = 4 + 9 – 25 → C = -12 sustituyendo
X2 + y2 + Dx + Ey + C = 0 → X2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
