Gontinuación inecuaciones en una variable
Ejemplo 3. 2x3 – 3x2 – 8x - 3≤ 0; Para factorizar este polinomio se aplica la regla de Ruffini.
2x3 – 3x2 – 8x – 3 = (x + 1)(x – 3)(2x +1) ⇒ (x + 1)(x – 3)(2x +1) ≤ 0 expresión factorizada.
Puntos críticos: X + 1 = 0 → x = - 1; x – 3 = 0 → x = 3; 2x + 1 = 0 → 2x = - 1 → x = - 1/2.
Estudio de los signos
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Prueba
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Intervalos
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(x + 1)
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(x – 3)
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(2x +1)
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(x + 1)(x – 3)(2x +1) ≤ 0
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X = - 2
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(-∞, - 1]
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(-)
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(-)
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(-)
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(-)
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X = - 3/4
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[- 1, - 1/2]
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(+)
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(-)
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(-)
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(+)
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X = 1
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[- 1/2, 3]
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(+)
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(-)
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(+)
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(-)
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X = 4
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[3, + ∞)
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(+)
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(+)
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(+)
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(+)
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Como la disigualdad pedida es ≤, entonces la solucion es la parte negativa del eje real. C.S = (-∞, - 1] U [- 1/2, 3]
Ejemplo 4. Resolver 2x3 > 5x2 + 3x → 2x3 – 5x2 – 3x > 0
2x3 – 5x2 – 3x > 0 → x(2x2 – 5x – 3) > 0 factorizando la expresión la 2x2 – 5x – 3 → (x - 3)(2x + 1)
2x3 – 5x2 – 3x > 0 → x(x – 3)(2x + 1) > 0.
Puntos críticos: a) X = 0 b) x – 3 = 0 → x = 3 c) 2x + 1 = 0 → 2x = - 1 → x = - 1/2
Solo importa el signo de cada factor, cuyo producto produce el signo de la expresión completa.
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Pruebas
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Intervalos
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x
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(x – 3)
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(2x + 1)
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X(x – 3)(2x + 1) > 0
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X = - 1
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(-∞, - 1/2 )
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(-)
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(-)
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(-)
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(-)
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X = - 1/4
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(- 1/2, 0 )
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(-)
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(-)
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(+)
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(+)
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X = 2
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(0, 3)
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(+)
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(-)
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(+)
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(-)
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X = 5
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(3, + ∞)
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(+)
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(+)
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(+)
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(+)
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Como la disigualdad pedida es >, entonces la solucion es la parte positiva del eje real, Los intervalos son abiertos porque la desigualdad no incluye las fronteras. C.S = (-∞, - 1) U (- 1/2, 3).
Ejemplo 5. x5 + 2x4 < 3x3 → x5 + 2x4 – 3x3 < 0 → factor común x3(x2 + 2x – 3) < 0
El factor que hace cero el polinomio es x3, factorizando x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1).
La inecuación factorizada es x5 + 2x4 – 3x3 < 0 → x3(x + 3)(x – 1) < 0.
Puntos críticos: x3 = 0 x = 0; x + 3 = 0 → x = - 3; x – 1 = 0 → x = 1
Estudios de los signos
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Prueba
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Intervalos
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x3
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(x + 3)
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(x – 1)
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x3(x + 3)(x – 1) < 0
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X = - 4
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(- ∞, - 3)
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(-)
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(-)
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(-)
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(-)
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X = - 2
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(- 3, 0)
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(-)
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(+)
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(-)
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(+)
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X = 1/2
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(0, 1)
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(+)
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(+)
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(-)
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(-)
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X = 5
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(1, + ∞)
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(+)
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(+)
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(+)
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(+)
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Como la desigualdad pedida es <, solo se cumple (negativa) en los intervalos abiertos (- ∞, - 3) y (0, 1). Por tanto C.S = (- ∞, - 3) U (0, 1)
Ejercicios:
a) X2 – 3x + 4 ≤ 0 b) X2 – 10x + 25 > 0 c) X2 – 10x + 25 ≤ 0 d) ( x - 4 ) ( x + 2 ) 2 > 0 e) x - x 3 f) -3x2 + 3x +4 < 0
g) X3 – 3x2 < 0 h) X3 – 4x2 – 4x + 16 ≥ 0 i) X4 – 16 ≤ 0 j) X4 + 2x3 ≥ 8x2 + 18x + 9
Inecuaciones en dos variables
Una ecuación lineal tal como y = 3x + 2, divide al plano cartesiano en dos regiones bidimensionales llamadas semiplanos. Estos semiplanos representan la gráfica de las dos desigualdades lineales y < 3x + 2 (gráfica por debajo de la recta) e y > 3x + 2 (grafica por encima de la recta)
Para realizar la gráfica se procede:
a) Se despeja la variable “y” de la ecuación y se localizan dos puntos del plano cartesiano asignando valores pequeños a la x en la ecuación.
b) Se traza la recta que pasa por los puntos localizados, punteada si la desigualdad utiliza uno de los signos (<, >) o intensa si los signos son (≤, ≥)
c) Se toman puntos de prueba en cada semiplano. El semiplano al cual pertenece el punto que haga cierta la desigualdad es el conjunto solución de la inecuación y se sombrea.
Así en y < 3x + 2 ó y > 3x + 2. 1º Se hace y = 3x + 2
si x = 1 → Y = 3(1) + 2 → Y = 3 + 2 → Y = 5 ⇒ A(1, 5). si x = - 2 → y = 3(- 2) + 2 → y = -6 + 2 → y = - 4 ⇒ B(- 2, - 4)
Puntos de pruebas:
Puntos que encuentran por debajo de la recta Puntos que encuentran por arriba de la recta
Para y < 3x + 2
(5, 2) → 2 < 3(5) + 2 → 2 < 15 +2 ⇒ 2 < 17 V (- 3, 5) → 5 < 3(- 3) + 2 → 5 < -9 +2 ⇒ 5 < -7 F
C.S = semiplano por debajo de la recta Ilustración 1
Para y > 3x + 2
(5, 2) → 2 > 3(5) + 2 → 2 > 15 +2 ⇒ 2 > 17 F (- 3, 5) → 5 > 3(- 3) + 2 → 5 > -9 +2 ⇒ 5 > -7 V
C.S = semiplano por encima de la recta Ilustración 2
En general la gráfica de y > mx + b, consiste de todos los puntos (x, y) por arriba de la recta y = mx + b; para y < mx + b, de todos puntos (x, y) por debajo de la recta.
Ejemplo:
Determina el conjunto solución de 2x + y ≥ 4.
2x + y ≥ 4 → y ≥ 4 – 2x para trazar la recta se hace y = 4 – 2x y se determinan los dos puntos necesarios.
si x = 0 → y = 4 – 2(0) → y = 4 – 0 → y = 4 ⇒ A(0, 4); si x = 2 → y = 4 – 2(2) → y = 4 – 4 → y = 0 ⇒ B(2, 0)
Puntos de prueba
Puntos que encuentran por debajo de la recta Puntos que encuentran por arriba de la recta
(-1, 2) → 2 ≥ 4 – 2(- 1) → 2 ≥ 4 + 2 ⇒ 2 ≥ 6 F (3, 2) → 2 ≥ 4 – 2(3) → 2 ≥ 4 – 6 ⇒ 2 ≥ – 2 V
C. S = Todo el semiplano por arriba Ilustración 3
Ejemplo 2. Grafique la inecuación│y│≤ 4
Solución │y│≤ 4 equivale a la inecuación compuesta - 4 ≤ y ≤ 4
Prueba:
si y = 0 → - 4 ≤ 0 ≤ 4 V ; y = - 3 → - 4 ≤ - 3 ≤ 4 V ; y = 3 → - 4 ≤ 3 ≤ 4 V
y = 5 → - 4 ≤ 5 ≤ 4 F y = - 5 → - 4 ≤ - 5 ≤ 4 F
Los valores que satisfacen la inecuación son los comprendidos entre y = ± 4, inclusive. Ilustración 4
Ejercicios:
Grafique las regiones que satisfacen las desigualdades.
a) y ≥ x – 2 b) 2y + x – 4 < 0 c) 3y + x + 6 ≥ 0 d) X – 2y + 2 ≤ 0 e) │x│ ≥ 3 f) │y│ ≤ 2 g) y > x