Estudio de la Función Exponecial

Funciones exponenciales: Se llaman así todas aquellas funciones de la forma  f(x) = b^x, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b > 0 y b ≠ 1).
La condición que b sea diferente de uno es porque, al reemplazar a b por 1, la función f(x) = b^x se transforma en la función constante  f(x) = 1.
La base  no puede  ser  negativa porque  funciones de la forma f(x) = (-9)^1/2 no tendrían sentido en los números reales..
Caso I Cuando b > 1
Ejemplo.
Sea la función y = 3^x
Para x = 1 → y = 3¹ → y = 3;  para x = - 1 → y = 3^-1 → y = 1/3¹ → y = 1/3
Para valores negativos de “x”, se aplica la ley de los exponentes negativos.

Caso II Cuando 0 < b < 1
Y = (1/2)^x → y = 1/2^x → y = 2 ^{– x}

Propiedades:
1. La curva es cóncava hacia arriba
2. Pasa por el punto (0, 1)
3. El eje x hacia la izquierda es una asíntota horizontal cuando b > 1
4. El dominio es todo número real x.
5. El rango es todo numero positivo y.
6. La función es creciente cuando b > 1 y cuando 0 < b < 1
7. Es una función biunívoca → f(x₁) = f(x₂)
8. El eje x es una asíntota horizontal a la derecha si b > 1 y a la izquierda si 0 < b < 1. 
La curva puede ser desplazada a la derecha si b^(x-h) o a la izquierda si b^(x+h)  
La curva puede ser desplazadahacia arriba si b^x + k o hacia abajo si b^x - k

Ecuaciones exponenciales
La propiedad biunívoca de funciones es una herramienta útil para resolver ecuaciones exponenciales.
Si f(x₁) = f(x₂) → b^x1 = b^x2 por tanto x₁ = x₂
Ejemplos:
a) Resolver la ecuación 7^{x – 2} = 343
7^{x – 2} = 7³ como las base es la misma → x - 2 = 3
 x  = 3 + 2  → x  = 5
b)   3^2x+2 = 27^{x2 – 1} → 3^2x+2 = 3^{3x2 – 1} como la base es la misma 2x + 2 = 3x² – 3
3x²-2x – 5 = 0 factorizando (3x – 5) (x + 1) = 0
 3x₁ – 5 = 0 → 3x₁  = 5 → x₁  = 5/3 
x₂ + 1 = 0 → x₂  = -1
                                                          Ejercicios:
Despejar x 
1) 2^x-1 = 32                              4)  2^x2 = 16                                 7)  8^2x+1 64
2) 1/2^x                                     5)  1/5^x+1 = 125                             1/4^{x – 2} = 64
3) 3^{2x – 1} = 729/9^x+1                 6)  2^x2+x = 4^x+1                            9)   (27/8)^x = 9/4