Solución de problemas Cap. V Física Wilson, Buffa y Lou.
TRABAJO Y ENERGÍA
5.2 Trabajo efectuado por una fuerza constante:
1) OM Las unidades del trabajo son a) N · m, b) kg · m2 /s2 , c) J o d) todas las anteriores.
Solución: La respuesta es la “d), todas las anteriores.
2) OM Para una fuerza y un desplazamiento específicos, la mayoría del trabajo se realiza cuando el ángulo entre ellos es de a) 30°, b) 60°, c) 90°, d) 180°.
Solución: La respuesta es la “d) cuando
3) OM Un pitcher lanza una bola rápida. Cuando el cátcher la atrapa, a) se realiza trabajo positivo, b) se realiza trabajo negativo, c) el trabajo neto es cero.
Solución: La respuesta es la “b) se realiza trabajo negativo, porque la fuerza es opuesta al desplazamiento y el ángulo es de 180º.
4) OM El trabajo que se realiza en la caída libre es a) sólo positivo, b) sólo negativo o c) puede ser positivo o negativo.
Solución: La respuesta es la “a) sólo positivo, porque el peso de objeto tiene la misma dirección del desplazamiento del objeto.
5) PC a) Cuando un levantador de pesas se esfuerza por levantar una barra del piso (figura 5.24a), ¿está efectuando trabajo? ¿Por qué? b) Al levantar la barra sobre su cabeza, ¿está efectuando trabajo? Explique. c) Al sostener la barra sobre su cabeza (figura 5.24b), ¿está efectuando más trabajo, menos trabajo o la misma cantidad de trabajo que al levantarla? Explique. d) Si el atleta deja caer la barra, ¿se efectúa trabajo sobre la barra? Explique qué sucede en esta situación.
Solución: La respuesta a la a) es “No”, porque el peso no se mueve, así que no hay desplazamiento y, por lo tanto, no hay trabajo.
La respuesta a la b) es “sí”, se realiza trabajo positivo mediante la fuerza ejercida por el montacargas.
La respuesta a la c) es “No”, porque al sostener la barra no está trabajando ya que el desplazamiento es cero, la fuerza realizada es resistiva y sólo tiene la capacidad de realizar trabajo por el efecto de la gravedad.
La respuesta a la d) es “sí” el trabajo se realiza en la barra por la fuerza gravitacional.
6) PC Un estudiante lleva una mochila por la universidad. ¿Qué trabajo efectúa su fuerza portadora vertical sobre la mochila? Explique.
Solución: A medida que se lleva la mochila, no se mueve en dirección vertical, por tanto, la magnitud de su desplazamiento en la dirección vertical es cero.En consecuencia, el trabajo realizado por la fuerza de transporte vertical en la mochila también es cero.
7) PC Un avión a reacción describe un círculo vertical en el aire. ¿En qué regiones del círculo es positivo el trabajo efectuado por el peso del avión y en cuáles es negativo? ¿Es constante el trabajo? Si no lo es, ¿tiene valores instantáneos mínimos y máximos? Explique.
Solución:
En este caso, se deben analizar tres puntos distintos:
1. En el instante en que el avión vuela perpendicularmente hacia arriba, el trabajo de la gravedad es negativo y su magnitud es máxima.
2. En el instante en que el avión vuela perpendicularmente hacia abajo, el trabajo de la gravedad es positivo y su magnitud es máxima.
3. En el instante en que el avión vuela paralelo al suelo, es decir, en la parte inferior y en la parte superior del círculo, el trabajo de la gravedad es cero.
En general: Negativo al subir, positivo al bajar. No, el trabajo no es constante.
8) ● Si una persona efectúa 50 J de trabajo al mover una caja de 30 kg una distancia de 10 m por una superficie horizontal, ¿qué fuerza mínima requiere?
Solución: Wt = Fdcosθ → F = Wt/dcos0° → F = 50 joules/(10 m)(1) → F = 5 N.
9) ● Una caja de 5.0 kg se desliza una distancia de 10 m sobre hielo. Si el coeficiente de fricción cinética es de 0.20, ¿qué trabajo efectúa la fuerza de fricción?
Solución:
Peso de la caja: w = mg → w = (5.0 kg)(9.8 m/s2) → w = 49 N = FN.
Fuerza fricción: fk = - µkFN → fk = - (0.20)(49 N) → fk = - 9.8 N.
Trabajo: Wt = fkdcos0° → Wt = (- 9.8 N)(10 m)(1) → Wt = - 98 N.
10) ● Un pasajero en un aeropuerto tira del asa de una maleta rodante. Si la fuerza empleada es de 10 N y el asa forma un ángulo de 25 con la horizontal, ¿qué trabajo efectúa la fuerza de tracción cuando el pasajero camina 200 m?
Solución: Wt = Fdcosθ → Wt = (10 N)(200 m)(cos25°) → Wt = 1820 Joules.
11) ● Un estudiante universitario que gana algo de dinero durante el verano empuja una podadera de césped por una superficie horizontal con una fuerza constante de 200 N, que forma un ángulo de 30º hacia abajo con respecto a la horizontal. ¿Qué distancia empuja la podadora al efectuar 1.44 x 103 Joules
Solución: Wt = Fdcosθ → Wt = (Fcos30°)d → 1.44 x 103 Joules = (200 N)(0.866)d → d = 1.44 x 103 N x m/173.2 N → d = 8.31 m.
12) ●● Un bloque de 3.00 kg baja deslizándose por un plano inclinado sin fricción que forma 20º con la horizontal. Si la longitud del plano es de 1.50 m, ¿cuánto trabajo se efectúa y qué fuerza lo efectúa?
Solución:
La única fuerza que realiza trabajo es la componente del peso del bloque (mgsenθ)
Fx = mgsenθ → Fx = (3 kg)(9.8 m/s2)sen20° → Fx = 10.06 N.
Wt = Fxdcos0° → Wt = (10.06 N)(1.5 m)(1) → Wt = 15.09 Joules.
13) ●● Suponga que el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano del ejercicio 12 es de 0.275. ¿Qué trabajo neto se efectuaría en este caso?
Solución:
Fuerza normal: ∑FN = 0 → FN - mgcosθ = 0 → FN = mgcos20° → FN = (3 kg)(9.8 m/s2)(0.94) → FN = 27.94 N.
Fuerza de rozamiento cinética: fk = µkFN → fk = µk(mgcos20°) → fk = (0.275)(3 kg)(9.8 m/s2)(0.94) → fk = 7.60 N.
Fuerza en eje X: Fx = wx - fk → Fx = mgsen20° - µk(mgcos20°) → Fx = (3 kg)(9.8 m/s2)(0.342) - (0.275)(3 kg)(9.8 m/s2)(0.94) → Fx = 10.06 N - 7.60 N → Fx = 2.45 N.
Trasbajo realizado: Wt = Fxdcosθ → Wt = (2.45 N)(1.5 m)(1) → Wt = 3.70 Joules.
14) ●● Un padre tira de su hija sentada en un trineo con velocidad constante sobre una superficie horizontal una distancia de 10 m, como se ilustra en la figura 5.25a. Si la masa total del trineo y la niña es de 35 kg, y el coeficiente de fricción cinética entre los patines del trineo y la nieve es de 0.20, ¿cuánto trabajo efectúa el padre?
Solución: Como el trineo y su conjunto se mueven a velocidad constante, su aceleración es cero (a = 0).
Componentes de la fuerza F:
∑Fy = 0 → FN + Fy - mg = 0 → FN = mg - Fsen30° → FN = (35 kg)(9.8 m/s2) - 0.5F → FN = 343 N - 0.5F.
∑Fx = 0 → Fx - fk = 0 → Fx = fk → Fcos30° = µkFN → 0.87F = (0.20)(343 N - 0.5F) → 0.87F = 68.6 N - 0.1F → 0.97F = 68.6 N → F = 70.72 N.
Fuerza normal: FN = 343 N - 0.5F → FN = 343 N - 0.5(70.72 N) → FN = 307.64 N
Fuerza de rozamiento cinética: fk = µkFN → fk = (0.20)(307.64 N) → fk = 61.53 N.
Trabajo realizado por el padre:
Trabajo realizado por la fuerza F aplicada:
WF = Fdcos30° → WF = (70.72 N)(10 m)(0.87) → WF = 615.26 N.
Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:
Wfk = Ffkdcos180° → Wfk = (61.53 N)(10 m)(- 1) → Wfk = - 615.30 N.
Trabajo total: Wt = WF + Wfk → Wt = 615.26 N - 615.30 N → Wt = - 0.04 N.
15) ●● Un padre empuja horizontalmente el trineo de su hija para subirlo por una cuesta nevada (figura 5.25b). Si el trineo sube la pendiente con velocidad constante, ¿cuánto trabajo efectúa el padre al empujarlo hasta la cima? (Algunos datos necesarios se dan en el ejercicio 14.)
Solución:
Componentes de la fuerza F y del peso w = mg:
∑Fy = 0 → FN - Fy - mgcosθ = 0 → FN = mgcos15° + Fsen15° → FN = (35 kg)(9.8 m/s2)(0.9659) - 0.5F → FN = 331.31 N + 0.5F.
∑Fx = 0 → Fx - mgcosθ - fk = 0 → Fx = mgsenθ + µkFN → Fcos15° = (343)sen15° + (0.20)(331.31 N+ 0.26F) → 0.9659F = 89.18 N + 66.26 N + 0.052F → 0.9659F - 0.052F = 155.44 N → 0.9139F = 155.44 N → F = 170.9 N.
Distancia recorrida: d = h/sen15° → d = 3.6 m/0.2588 → d = 13.91 m.
Trabajo realizado por el padre: WF = Fdcos15° → WF = (170.09 N)(10 m)(0.0.9659) → WF = 2.29 x 103 N.
16) EI ●● Un globo aerostático asciende con rapidez constante. a) El peso del globo efectúa trabajo 1) positivo, 2) negativo o 3) cero. ¿Por qué? b) Un globo aerostático con una masa de 500 kg asciende con rapidez constante de 1.50 m/s durante 20.0 s. ¿Cuánto trabajo efectúa la fuerza de flotación hacia arriba? (Desprecie la resistencia del aire.)
Solución:
a) La respuesta es la “2)”, el peso del globo realiza trabajo negativo porque la dirección del desplazamiento del globo es contraria a la dirección del peso del globo. El ángulo formado entre la dirección del peso y la dirección del desplazamiento del globo es 180º.
Wt = Fcosθh → Wt = Fcos180°h → Wt = - Fh.
b) Como el globo aerostático asciende con velocidad constante, significa que la fuerza de atracción gravitacional y la fuerza de flotación hacia arriba del globo tienen la misma magnitud y dirección opuestas. Por tanto, mantienen el globo en equilibrio.
Fuerza de flotación: Ff = Fg → Ff = mg → Ff = (500 kg)g(9.8 m/s2) → Ff = 4900 N.
Trabajo de la fuerza de flotación hacia arriba del globo: Como el movimiento es uniforme el desplazamiento será: d = V x t → d = (1.50 m/s)(20 s) → d = 30 m.
Wt = Ff x d → Wt = (4900 N)(30 m) → Wt = 1.47 x 105 Joules.
17) EI ●● Un disco (puck) de hockey con una masa de 200 g y una rapidez inicial de 25.0 m/s se desliza libremente hasta el reposo, en un espacio de 100 m sobre una superficie horizontal de hielo. ¿Cuántas fuerzas realizan algún trabajo diferente de cero sobre él conforme disminuye su rapidez? a) 1) ninguna, 2) una, 3) dos, o 4) tres. Explique su respuesta. b) Determine el trabajo realizado por todas las fuerzas individuales sobre el disco conforme disminuye su rapidez.
Solución: a) Las Fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:
v La fuerza de rozamiento cinética paralela a la superficie del Hielo.
v Su propio peso que es perpendicular a la superficie del Hielo y no realiza trabajo.
v La fuerza normal que ejerce la superficie del Hielo perpendicularmente sobre el cuerpo y no realiza trabajo.
La única fuerza que realiza trabajo y negativo sobre el cuerpo es la fuerza de rozamiento. Por tanto, la respuesta es la “2) Una”
b) Aceleración retardatriz del disco: ax = (Vf2 - Vi2)/2d → ax = [(0 m/s)2 - (25 m/s)2)]/2(100 m) → ax = [0 m2/s2 - 625 m2/s2)]/200 m → ax = - 3.125 m/s2.
Fuerza de rozamiento cinética que actúa sobre el disco: fk = max → fk = (0.20 kg)(- 3.125 m/s2) → fk = - 0.625 N.
Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento: Wt = fkd →
18) EI ●● Un borrador con una masa de 100 g se encuentra sobre un libro en reposo. El borrador está inicialmente a 10.0 cm de cualquiera de las orillas del libro. De repente, se tira de este último muy fuerte y se desliza por debajo del borrador. Al hacerlo, arrastra parcialmente al borrador junto con él, aunque no lo suficiente para que éste permanezca sobre el libro. El coeficiente de fricción cinética entre el libro y el borrador es 0.150. a) El signo del trabajo realizado por la fuerza de fricción cinética del libro sobre el borrador es 1) positiva, 2) negativa o 3) la fricción cinética no realiza ningún trabajo. Explique su respuesta. b) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de fricción del libro sobre el borrador en el momento que éste cae de la orilla del libro?
Solución:
a) La fuerza de fricción cinética (
La dirección del desplazamiento del borrador es contraria a la dirección de la fuerza de fricción cinética, es decir, θ = 180°; Wt = fkcosθd → Wt = fkcos180°d → Wt = - fkd; por tanto la respuesta es la "2)" negativo.
b) ∑Fy = 0 → FN - mg = 0 → FN = mg → FN = (0.1 kg)(9.8 m/s2) → FN = 0.98 N.
fk = µkFN → fk = (0.150)(0.98) → fk = 0.147 N.
trabajo realizado: Wt = fkcosθd → Wt = fkcos180°d → Wt = - fkd → Wt = - (0.147 N)(0.1 m) → Wt = - 0.0147 Joules.
19) ●●● Un helicóptero ligero, de 500 kg, asciende desde el suelo con una aceleración de 2.00 m/s2. Durante un intervalo de 5.00 s, ¿cuál es a) el trabajo realizado por la fuerza de ascensión, b) el trabajo realizado por la fuerza gravitacional y c) el trabajo neto que se realiza sobre el helicóptero?
Solución: a) Fuerza de accesión: ∑Fy = ma → Fac - mg = ma → Fac = mg + ma → Fac = (500 kg)(9.8 m/s2) + (500 kg)(2 m/s2) → Fac = 4900 N + 1000 N → Fac = 5900 N.
Distancia recorrida: d = 1/2at2 → d = 1/2(2 m/s2)(5 s)2 d = 1/2(2 m/s2)(25 s2) d = 25 m.
Trabajo realiza por la fuerza de ascensión: Como la dirección de la fuerza de ascensión y la dirección del desplazamiento del helicóptero es la misma, entonces θ = 0.
Wac = Faccosθd → Wac = (5900 N)cos0°(25 m) → Wac = 147.5 x 103 Joules.
b) Trabajo realizado por la fuerza gravitacional:
Valor de la fuerza gravitacional: Fg = mg → Fg = (500 kg)(9.8 m/s2) → Fg = 4900 N.
El trabajo realiza por la fuerza gravitacional es negativo, porque la dirección de la fuerza gravitacional es opuesta a la dirección del desplazamiento, por tanto θ = 180°.
Wg = Fgcos180°d → Wac = (4900 N)(- 1)(25 m) → Wac = - 122.5 x 103 Joules.
c) El trabajo neto realizado por el helicóptero: Wt = Was + Wg → Wt = 147.5 x 103 Joules + - 122.5 x 103 Joules → Wt = 2.5 x 105 Joules.
20) ●●● Un hombre empuja horizontalmente un escritorio que se encuentra en reposo sobre un piso de madera áspero. El coeficiente de fricción estática entre el escritorio y el piso es 0.750 y el coeficiente de fricción cinética es 0.600. La masa del escritorio es de 100 kg. El hombre empuja suficientemente fuerte para hacer que el escritorio se mueva, y continúa empujando con esa fuerza durante 5.00 s. ¿Cuánto trabajo realiza sobre el escritorio?
Solución:
La fuerza que actúa sobre el escritorio es igual a la fuerza máxima de fricción estática: F - fs = 0 → F = fs → F = µsFN → F = (0.750)(100 kg)(9.8 m/s2) → F = 735 N.
Fuerza de fricción cinética:
Sumatoria de la fuerza en X: F - fk = ma →
Distancia recorrida: d = 1/2at2 → d = 1/2(1.47 m/s2)(5 s)2 d = 1/2(1.47 m/s2)(25 s2) d = 18.38 m.
Trabajo realizado sobre el escritorio: Wt = (F - fk)cos0°d → Wt = (147 Joules)(1)(18.38 m) → Wt = 2.7 x 103 Joules.
21) EI ●●● Un estudiante podría empujar una caja de 50 kg, o bien tirar de ella, con una fuerza que forma un ángulo de 30 con la horizontal, para moverla 15 m por una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es de 0.20. a) Tirar de la caja requiere 1, menos, 2, el mismo o 3, más trabajo que empujarla. b) Calcule el trabajo mínimo requerido tanto para tirar de la caja como para empujarla.
Solución:
Suponiendo que la caja se mueve a velocidad constante.
Caso I empujar: ∑Fx = 0 → Fx - fk = 0 →Fcosθ - µkFN = 0 (I)
∑Fy = 0 → FN - Fy - mg = 0 → FN = mg + Fsenθ (II). Sustituyendo FN
Fcosθ - µk(mg + Fsenθ) = 0 → F = µkmg/(cos30° - µksen30°) → F =(0.20)(50 kg)(9.8 m/s2)/(0.866 - (0.20)(0.50)) → F =98 N/0.766 → F =127.94 N.
Caso II jalar: ∑Fx = 0 → Fx - fk = 0 → Fcosθ - µkFN = 0 (I)
∑Fy = 0 → FN + Fy - mg = 0 → FN = mg - Fsenθ (II) Sustituyendo FN de (II) en la (I) resulta:
Fcosθ - µk(mg - Fsenθ) = 0 → F = µkmg/(cos30° + µksen30°) → F =(0.20)(50 kg)(9.8 m/s2)/(0.866 + (0.20)(0.50)) → F =98 N/0.966 → F =101.45 N.
a) La respuesta es la 1), tirar de la caja requiere menos fuerza, por tanto, menor trabajo.
El hecho de jalar requiere que el estudiante realice (1) menos trabajo. En comparación con el acto de empujar, jalar disminuye la fuerza normal sobre el cajón. Esto, a la vez, disminuye la fuerza de fricción cinética.
b) Trabajo realizado por cada fuerza:
En el caso I: Wt = FIcosθd → Wt = (127.94 N)cos30°(15 m) → Wt = 1.7 x 103 Joules.
En el caso II: Wt = FIcosθd → Wt = (101.45 N)cos30°(15 m) → Wt = 1.3 x 103 Joules.
5.2 Trabajo efectuado por una fuerza variable.
22) OM El trabajo efectuado por una fuerza variable de la forma F= kx es a) kx2 b) kx c) ½kx2
Solución: La respuesta es la "c", ½kx2
23) PC Con respecto a su posición de equilibrio ¿se requiere el mismo trabajo para estirar un resorte 2 cm, que estirarlo 1 cm? Explique.
Solución: La respuesta es No, implica más trabajo. Esto se debe a que la fuerza aumenta conforme el resorte se estira, de acuerdo con la ley de Hooke. Además, el desplazamiento es mayor.
24) PC Si un resorte se comprime 2.0 cm con respecto a su posición de equilibrio y luego se comprime otros 2.0 cm, ¿cuánto trabajo más se efectúa en la segunda compresión que en la primera? Explique su respuesta.
Solución: Como la fuerza aplicada a un resorte crece directamente proporcional con el estiramiento o comprensión del mismo, significa que el trabajo que es directamente proporcional a la fuerza aplicada también crecerá en la misma proporción de la fuerza: Por la ley Hooke.
Por definición el trabajo realizado para estirar o comprimir un resorte es W = ½kx2.
Trabajo realizado en la primera comprensión: Wt = ½kx2 → Wt = ½k(2)2 → Wt = ½k(4 m2) → Wt = 2k(m2).
Trabajo realizado en la segunda comprensión: Wt = ½kx2 → Wt = ½k(4)2 → Wt = ½k(16m m2) → Wt = 8k(m2).
Esto significa que W2 = 4W1
25) 10) ● Para medir la constante de cierto resorte, un estudiante aplica una fuerza de 4.0 N, y el resorte se estira 5.0 cm. ¿Qué valor tiene la constante?
Solución: 5 cm x 1 m/100 cm = 0.05 m; Valor de la constante elástica: Felast = KX → K = Felast/X → K = 4 N/0.05 m → K = 80 N/m.
26) 10) ● Un resorte tiene una constante de 30 N/m. ¿Cuánto trabajo se requiere para estirarlo 2.0 cm con respecto a su posición de equilibrio?
Solución: 2 cm x 1 m/100 cm = 0.02 m; Trabajo realizado: Wt = ½kx2 → Wt = ½(30 N/m)(0.02 m)2 → Wt = ½(30 N/m)(0.0004 m2) → Wt = 0.006 Joules.
27) ● Si se requieren 400 J de trabajo para estirar un resorte 8.00 cm, ¿qué valor tiene la constante del resorte?
Solución: 8 cm x 1 m/100 cm = 0.08 m; Valor de la constante elástica: Wt = ½kx2 → K = 2Wt/X2 → K = 2(400 Joules)/(0.08)2 → K = 1.25 x 105 N/m.orte?
Solución:
28) ● Si una fuerza de 10 N se utiliza para comprimir un resorte con una constante de resorte de 4.0 x 102 N/m, ¿cuál es la compresión resultante del res
Solución: Felast = KX → X = Felast/K → K = 10 N/4 x 102 N/m → X = 2.5 cm.
29) EI ● Se requiere cierta cantidad de trabajo para estirar un resorte que está en su posición de equilibrio. a) Si se efectúa el doble de trabajo sobre el resorte, ¿el estiramiento aumentará en un factor de 1) (2)½
Solución: a) Trabajo requerido para estirar el resorte: Wi = ½kx2; Para un trabajo doble: 2Wi =Wf.
Wf = 2Wi → Wf = 2(½kxi2) → ½kxf2 = kxi2 → xf2 = 2xi2 → xf = (2)½xi.
La respuesta es la “1)”
b) Este inciso puede resolverse por regla de tres simple: Wi/Xi2 = Wf/Xf2 → Wf = [(Wi)(Xf2)]/Xi2 → Wf = [(100 Joules)(3 cm)2]/(1 cm)2 → Wf = [(100 Joules)(9 cm2)]/(1 cm2) → Wf = 900 Joules.
30) ●● Calcule el trabajo que realiza la fuerza variable en la gráfica de F contra x en la siguiente figura 5.26. [Sugerencia: recuerde que el área de un triángulo es A = ½ de la altura x la base.
Solución: El trabajo realizado por una fuerza variable es Wt = ½bh y al dividir la grafica en triángulos rectángulo resulta:
A1 = W1 = ½(1 m)(6 N) → W1 = 3 Joules; A2 = W2 = ½(2 m - 1 m)(6 N) → W2 = 3 Joules; A3 = W3 = ½(3 m - 2 m)(- 6 N) → W3 = - 3 Joules; A4 = W4 = ½(5 m - 3 m)(- 6 N) → W4 = - 6 Joules.
Trabajo neto realizado: Wn = W1 + W2 + W3 + W4 →
31) EI ●● Un resorte con una constante de fuerza de 50 N/m se estira desde 0 hasta 20 cm. a) El trabajo requerido para estirar el resorte desde 10 hasta 20 cm es 1) mayor que, 2) igual que o 3) menor que el que se requiere para estirarlo desde 0 hasta 10 cm. b) Compare los dos valores del trabajo para probar su respuesta al inciso a.
Solución: a) La respuesta es la “1)” mayor que el que se requiere para estirarlo desde 0 hasta 10 cm, porque la fuerza requerida es mayor (mientras que el desplazamiento es igual) para estirarlo de 10 a 20 cm, de acuerdo con la ley de Hooke.
b) Trabajo de 0 a 10 cm: W0 - 10 = ½KX2 → W0 - 10 = ½(50 N/m)(0.1 m - 0 m)2 → W0 - 10 = ½(50 N/m)(0.01 m2) → W0 - 10 = 0.25 Joules.
Trabajo de 0 a 20 cm: W0 - 20 = ½KX2 → W0 - 20 = ½(50 N/m)(0.2 m - 0 m)2 → W0 - 20 = ½(50 N/m)(0.04 m2) → W0 - 20 = 1 Joules.
Trabajo realizado de 10 cm a 20 cm (Wn): Wn = (W0 - 20) - (W0 - 10) → Wn = 1 Joules - 0.25 Joules → Wn = 0.75 Joules.
32) EI ●● En el espacio interestelar libre de gravedad, una nave enciende sus motores para acelerar. Los cohetes están programados para incrementar su propulsión desde cero hasta 1.00 x104 N, con un incremento lineal durante el curso de 18.0 km. Entonces, la propulsión disminuye linealmente para regresar a cero durante los siguientes 18.0 km. Suponiendo que el cohete estaba estacionario al inicio, a) ¿durante cuál segmento se realizará más trabajo (en magnitud)? 1) los primeros 60 s, 2) los segundos 60 s o 3) el trabajo realizado es el mismo en ambos segmentos. Explique su razonamiento. b) Determine cuantitativamente cuánto trabajo se realiza en cada segmento.
Solución:
33) ●● Cierto resorte tiene una constante de fuerza de 2.5 x 103 N/m. a) ¿Cuánto trabajo se efectúa para estirar 6.0 cm el resorte relajado? b) ¿Cuánto más trabajo se efectúa para estirarlo otros 2.0 cm?
Solución:
Trabajo efectuado para estirarlo 6 cm: W0 - 6cm = ½KX2 → W0 - 6cm = ½(2500 N/m)(0.06 m)2 →
W0 - 6cm = ½(2500 N/m)(0.0036 m2) → W0 - 6cm = 4.5 Joules.
Trabajo efectuado para estirarlo 2 cm más: W0 - 8cm = ½KX2 → W0 - 8cm = ½(2500 N/m)(0.08 m)2 → W0 - 8cm = ½(2500 N/m)(0.0064 m2) → W0 - 8cm = 8 Joules.
Trabajo realizado de 6 cm a 2 cm más: Wn = (W0 - 8 cm) - (W0 - 6 cm) → Wn = 8 Joules - 4.5 Joules → Wn = 3.5 Joules.
34) ●● Para el resorte del ejercicio 33, ¿cuánta más masa tendría que colgarse del resorte vertical para estirarlo a) los primeros 6.0 cm y b) los otros 2.0 cm?
Solución: a) m6cm = Felast/g → m(0 - 6cm) = KX/g → m(0 - 6cm) = (2500 N/m)(0.06 m)/9.8 m/s2 → m(0 - 6cm) = 15.31 kg.
m8cm = Felast/g → m(0 - 8cm) = KX/g → m(0 - 8cm) = (2500 N/m)(0.08 m)/9.8 m/s2 → m(0 - 8cm) = 20.41 kg.
b) m2cm+ = m(0 - 8cm) - m(0 - 6cm) → m2cm+ = 20.41 kg - 15.31 kg → m2cm+ = 5.10 kg.
35) ●●● Al estirar un resorte en un experimento, un estudiante, sin darse cuenta, lo estira más allá de su límite elástico; la gráfica de fuerza contra estiramiento se presenta en la figura 5.27. Básicamente, después de alcanzar su límite, el resorte comienza a comportarse como si fuera considerablemente rígido. ¿Cuánto trabajo se realizó sobre el resorte? Suponga que en el eje de fuerza, las marcas están cada 10 N, y en el eje x están cada 10 cm o 0.10 m.
Solución: Trabajo realizado sobre el resorte hasta su límite elástico:
W1 = ½kx2 → W1 = ½(F/X)X2 → W1 = ½(20 N/0.30 m)(0.30 m)2 → W1 = ½(66.67 N/m)(0.09 m2) → W1 = 3 Joules.
Después del límite de elasticidad el resorte se comporta como un cuerpo rígido más, formando un trapecio: W2 = (B + b)h/2 → W2 = (40 N + 20 N)(0.1 m)/2 → W2 = 3 Joules.
Trabajo neto realizado: Wt = W1 + W2 → Wt = 3 Joules + 3 Joules → Wt = 6 Joules.
36) ●●● Un resorte (el resorte 1) con una constante de resorte de 500 N/m se fija a una pared y se conecta a un resorte más débil (resorte 2) con una constante de resorte de 250 N/m sobre una superficie horizontal. Entonces una fuerza externa de 100 N se aplica al final del resorte más débil (#2). ¿Cuánta energía potencial se almacena en cada resorte?
Solución: En vista de que los resortes están conectados en serie, la fuerza que actúa sobre cada resorte es la misma.
Estiramiento del resorte # 1: F1 = K1X1 → X1 = F1/K1 → X1 = 100 N/(500 N/m) → X1 = 0.2 m.Estiramiento del resorte # 2: F2 = K2X2 → X2 = F1/K1 → X2 = 100 N/(250 N/m) → X2 = 0.4 m.
Energía potencial elástica almacenada en cada resorte:
U1 = ½K1X12 → U1 = ½(500 N/m)(0.2 m)2 → U1 = ½(500 N/m)(0.04 m2) → U1 = 10 Joules.
U2 = ½K2X22 → U2 = ½(250 N/m)(0.4 m)2 → U2 = ½(500 N/m)(0.04 m2) → U2 = 20 Joules.
Constante del sistema: 1/K = 1/K1 + 1/K2 → 1/K = 1/(500 N/m)+ 1/(250 N/m) → K = 166.67 N/m.
Estiramiento del sistema: X = X1 + X2 → X = 0.2 m + 0.4 m → X = 0.6 m.
Energía potencial elástica almacenada en el sistema:
Us = ½KsXs2 → Us = ½(166.67 N/m)(0.6 m)2 → Us = ½(166.67 N/m)(0.36 m2) → Us = 30 Joules.
5.3 El teorema trabajo-energía: energía cinética.
37) OM ¿Cuál de las siguientes es una cantidad escalar? a) trabajo, b) fuerza, c) energía cinética o d) a y c.
Solución: La respuesta es la “d)”, a y c son correctas.
38) OM Si el ángulo entre la fuerza neta y el desplazamiento de un objeto es mayor que 90 , a) la energía cinética aumenta, b) la energía cinética disminuye, c) la energía cinética no cambia o d) el objeto se detiene.
Solución: La respuesta es la “b)”, la energía cinética disminuye.
39) OM Dos automóviles idénticos, A y B, que viajan a 55 mi/h chocan de frente. Un tercer auto idéntico, C, choca contra una pared a 55 mi/h. ¿Qué automóvil sufre más daños: a) el auto A, b) el auto B, c) el auto C, d) los tres lo mismo?
Solución: La respuesta es la “c)”, porque el auto c choca con la pared que es rígida y por tanto la deformación es mayor.
40) OM ¿Cuál de estos objetos tiene menos energía cinética? a) Un objeto de masa 4m y rapidez v; b) un objeto de masa 3m y rapidez 2v; c) un objeto de masa 2m y rapidez 3v; d) un objeto de masa m y rapidez 4v.
Solución:La respuesta es la “c)”, el objeto:
41) PC Queremos reducir la energía cinética de un objeto lo más posible, y para ello podemos reducir su masa a la mitad o bien su rapidez a la mitad. ¿Qué opción conviene más y por qué?
Solución: La opción que más conviene es reducir la rapidez a la mitad porque reducirá la energía cinética por
42) PC Se requiere cierto trabajo W para acelerar un automóvil, del reposo a una rapidez v. ¿Cuánto trabajo se requiere para acelerarlo del reposo a una rapidez v/2?
Solución: Se sabe que Wt = ½mV2, entonces el trabajo realizado cuando el automóvil reduce su velocidad a la mitad es: W´ = ½m(V/2)2 → W´ = ½m(V2/4) → W´ = (½mV2)(1/4) → W´ = (1/4)(Wt)
Porque el trabajo es equivalente a la variación de la energía cinética y la energía cinética es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad, esto significa que cuando la velocidad es la mitad, el trabajo realizado es un cuarto del inicial W´ = (1/4)(Wt).
43) 10) PC Se requiere cierto trabajo W para acelerar un automóvil, del reposo a una rapidez v. Si se efectúa un trabajo de 2W sobre el auto, ¿qué rapidez adquiere?
Solución:
se sabe que Wt = ½mV2, y W´= 2W → ½m(V´2) = 2(½mV2) → ½V´2 = V2 → V´2 = 2V2 → V´ = (2V2)½ → V´ = 2½V.
44) EI ● Un objeto de 0.20 kg con una rapidez horizontal de 10 m/s choca contra una pared y rebota con la mitad de su rapidez original. a) El porcentaje de energía cinética perdida, en comparación con la energía cinética original, es 1) 25%, 2) 50% o 3) 75%. b) ¿Cuánta energía cinética pierde el objeto al chocar contra la pared?
Solución: a) La respueta es la "3" 75%
b) La energía cinética perdida se calcula mediante la variación de la energía cinética: Ecp = Ecf - Eci →
El porcentaje de energía cinética perdida, puede calcularse aplicando regla de tres simples:
Así 10 : 100% : : 2.5 : X → 10X = (2.5)(100%) → X = 25%
%Ecp = %(½mVf2) - %(½mVi2) → %Ecp = 25% - 100% → %Ecp = - 75%.
45) ● Una bala de 2.5 g que viaja a 350 m/s choca contra un árbol y se frena uniformemente hasta detenerse, mientras penetra 12 cm en el tronco. ¿Qué fuerza se ejerció sobre la bala para detenerla?Solución: 12 cm x 1 m/100 cm = 0.12 m; 2.5 g x 1kg/1000 g = 0.0025 kg.
Variación de energía cinética: Evc = ½mVf2 - ½mVi2 → Evc = ½(0.0025 kg)(0 m/s)2 - ½(0.0025 kg)(350 m/s)2 → Evc = 0 Joules - 153.13 Joules → Evc = - 153.13 Joules.
Fuerza aplicada para detener la bala: Evc = Wt = Fd → F = Wt/d → F = - 153.13 N x m/0.12 m → F = - 1276.04 N. (Negativa porque la fuerza se ejerce en sentido contrario de la dirección de la bala).
46) ● Un automóvil de 1200 kg viaja a 90 km/h. a) ¿Qué energía cinética tiene? b) ¿Qué trabajo neto se requeriría para detenerlo?
Solución: a) 90 km/h x 1000 m/km x 1 h/3600 s = 25 m/s; Ec = ½mV2 → Ec = ½(1200 kg)(25 m/s)2 → Ec = 3.75 x 105 Joules.
b) Wt = ∆Ec → Wt = ½mVf2 - ½mVi2 → Wt = ½(1200 kg)(0 m/s)2 - ½(1200 kg)(25 m/s)2 → Wt = - 3.75 x 105 Joules.
47) ● Una fuerza neta constante de 75 N actúa sobre un objeto en reposo y lo mueve una distancia paralela de 0.60 m. a) ¿Qué energía cinética final tiene el objeto? b) Si la masa del objeto es de 0.20 kg, ¿qué rapidez final tendrá?
Solución: a) Trabajo realizado: Ec = Wt = Fd → Ec = (75 N)(0.60 m) → Ec = 45 Joules.
b) Ec= ½mV2 → 45 Joules = ½(0.20 kg)V2 → V2 = [2(45 Joules)/(0.20 kg)]½ → V = 21.21 m/s.
48) EI ●● Una masa de 2.00 kg se une a un resorte vertical con una constante de 250 N/m. Un estudiante empuja verticalmente la masa hacia arriba con su mano, mientras desciende lentamente a su posición de equilibrio. a) ¿Cuántas fuerzas distintas de cero trabajan sobre el objeto? 1) una, 2) dos, 3) tres. Explique su razonamiento. b) Calcule el trabajo efectuado sobre el objeto por cada una de las fuerzas que actúan sobre éste conforme desciende a su posición original.
Solución: a) La respuesta es la “3) tres fuerzas verticales, las cuales son: el peso de la masa, la fuerza de la mano del estuante y la fuerza elástica del resorte.
b) Deformación del resorte: X = F/K → X = mg/K → X = (2 kg)(9.8 m/s2)/(250 N/m) → X = 7.84 x 10-2 m.
1) Trabajo de la fuerza elástica: Welast = ½KX2 → Welast = ½(250 N/m)(0.0784 m)2 → Welast = 0.77 Joules.
2) Trabajo realizado por la fuerza de la mano del estuante: como la fuerza de la mano del estudiante es hacia arriba y el desplazamiento es hacia abajo, entonces el trabajo es negativo.
West = - ½KX2 → West = - ½(250 N/m)(0.0784 m)2 → West = - 0.77 Joules.
3) Trabajo realizado sobre el cuerpo: Como la fuerza de la masa del cuerpo es hacia abajo y el desplazamiento también es hacia abajo, entonces el trabajo es positivo.
Wt = Fgd → Wt = mgd → Wt = (2 kg)(9.8 m/s2)(0.0784 m) → Wt = 1.54 Joules.
49) ●● La distancia en que para un vehículo es un factor de seguridad importante. Suponiendo una fuerza de frenado constante, use el teorema trabajo-energía para demostrar que la distancia en que un vehículo para es proporcional al cuadrado de su rapidez inicial. Si un automóvil que viaja a 45 km/h se detiene en 50 m, ¿en qué distancia parará si su rapidez inicial es de 90 km/h?
Solución: a) Por el teorema del trabajo y energía cinética: Wt = Ecf - Eci → Fd = ½mVf2 - ½mVi2 → Fd = ½m(0 m/s)f2 - ½mVi2 → m(- a)d = - ½mVi2 → d = Vi2/2a. por tanto la distancia de parada es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad inicial).
b) Si un automóvil que viaja a 45 km/h se detiene en 50 m, ¿en qué distancia parará si su rapidez inicial es de 90 km/h?: 45 km x 1000 m/km x 1 h/3600 s = 12.5 m/s; 90 km x 1000 m/km x 1 h/3600 s = 25 m/s.
Se puede observar que velocidad de
Demostración: d1 = Vi12/2a; d2 = Vi22/2a → d2/d1 = (Vi22/2a)/(Vi12/2a) → d2/d1 = (Vi2/Vi1)2 → d2/d1 = (2Vi1/Vi1)2 → d2/d1 = (2)2 → d2 = 4d1.
50) 10) EI ●● Un automóvil grande, con masa 2m, viaja con rapidez v. Uno más pequeño, con masa m, viaja con rapidez 2v. Ambos derrapan hasta detenerse, con el mismo coeficiente de fricción, a) El auto pequeño parará en una distancia 1) mayor, 2) igual o 3) menor. b) Calcule el cociente de la distancia de frenado del auto pequeño entre la del auto grande. (Use el teorema trabajo-energía, no las leyes de Newton.)
Solución: a)
b) Ecgrand = ½(2m)V2 → Ecgrand = mV2; Ecpeq = ½m(2V)2 → Ecpeq = 2mV2.
Distancia de parada: Wgrand = Ecgrand → Fdgrand = mV2 → dgrand = mV2/F; Wpeq = Ecpeq → Fdpeq = 2mV2 → dpeq= 2mV2/F.
Cociente: dpeq/dgrand = [2mV2/F]/[mV2/F] → dpeq/dgrand = [2FmV2]/[mFV2] → dpeq/dgrand = 2 → dpeq = 2 dgrand
51) 10) ●●● Un camión fuera de control con una masa de 5000 kg viaja a 35.0 m/s (unas 80 mi/h) cuando comienza a descender por una pendiente pronunciada (de 15º). La pendiente está cubierta de hielo, así que el coeficiente de fricción es de apenas de 0.30. Utilice el teorema trabajo-energía para determinar qué distancia se deslizará (suponiendo que se bloquean sus frenos y derrapa todo el camino) antes de llegar al reposo.
Solución: ∑Fy = 0 → FN - mgcos15° = 0 → FN = mgcos15° → FN = (5000 kg)(9.8 m/s2)(0.966) → FN = 47334 N.
Aceleración:
Fuerza: F = ma → F = (5000 kg)(-0.30 m/s2) → F = 1500 N.
Distancia recorrida:
Wt = Ecf - Eci → Fd = ½mVf2 - ½mVi2 → d = ½m(Vf2 - Vi2)/F → d = ½(5000 kg)(0 m2/s2 - 1225 m2/s2)/1500 N → d = 3062500 N x m/1500 N → d = 2 x 103 m.
52) 10) ●●● Si el trabajo requerido para aumentar la rapidez de un automóvil de 10km/h a 20 km/h es de 5.0 x 103 J, ¿qué trabajo se requerirá para aumentar la rapidez de 20 a 30 km/h?
Solución: 10 km/h x 1000 m/km x 1h/3600 s= 2.78 m/s; 20 km/h x 1000 m/km x 1 h/3600 s = 5.56 m/s; 30 km/h x 1000 m/km x 1 h/3600 s = 8.330m/s.
Como Wt = Ecf - Eci; W1 = ½mV1f2 - ½mV1i2 → W1 = ½m(V1f2 - V1i2); W2 = ½mV2f2 - ½mV2i2 → W2 = ½m(V2f2 - V2i2).
Mediante proporción puede determinarse fácilmente el trabajo
W1/[½m(V1f2 - V1i2)] = W2/[½m(V2f2 - V2i2)] → W2 = W1[½m(V2f2 - V2i2)]/[½m(V1f2 - V1i2)] → W2 = W1(V2f2 - V2i2)/(V1f2 - V1i2) → W2 = (5 x 103 Joules)[(8.33 m/s)2 - (5.56 m/s)2)]/[(5.56 m/s)2 - (2.78 m/s)2] → W2 = [192.38 x 103 Joules x m2/s2]/23.18 m2/s2 → W2 = 8.30 x 103 Joules.
5 - 4 Energía potencial.
53) OM Un cambio de energía potencial gravitacional a) siempre es positivo, b) depende del punto de referencia, c) depende de la trayectoria o d) depende sólo de las posiciones inicial y final.
Solución: La respuesta es la “d)” depende sólo de las posiciones inicial y final.
54) OM El cambio en la energía potencial gravitacional se encuentra calculando mg, h y restando la energía potencial del punto de referencia: a) verdadero, b) falso.
Solución: La respuesta es la “a)” verdadero.
55) OM El punto de referencia para la energía potencial gravitacional puede ser a) cero, b) negativo, c) positivo, d) todas las opciones anteriores.
Solución: La respuesta es la “d)” todas las anteriores.
56) PC Si un resorte cambia su posición de xo a x, ¿a qué es proporcional el cambio de energía potencial? (Exprese el cambio en términos de xo y x.)
Solución: La variación de energía potencial elástica: ∆Ep = ½K(X2 - Xi2) → ∆Ep = ½K(∆X2). Por tanto esto significa que la variación de energía potencial es directamente proporcional al cuadrado de la variación de longitud.
57) PC Dos automóviles van desde la base hasta la cima de una colina por diferentes rutas, una de las cuales tiene más curvas y vueltas. En la cima, ¿cuál de los dos vehículos tiene mayor energía potencial?
Solución: La respuesta es tienen la misma energía potencial en la parte superior porque tienen la misma altura.
58) ● ¿Cuánta más energía potencial gravitacional tiene un martillo de 1.0 kg cuando está en una repisa a 1.2 m de altura, que cuando está en una a 0.90 m de altura?
Solución: ∆Ep = mg∆h → ∆Ep = mg(h1 - h2) → ∆Ep = (1 kg)(9.8 m/s2)(1.2 m - 0.9 m) → ∆Ep = 2.94 Joules.
59) EI ● Le dicen que la energía potencial gravitacional de un objeto de 2.0 kg ha disminuido en 10 J. a) Con esta información, es posible determinar 1) la altura inicial del objeto, 2) la altura final del objeto, 3) ambas alturas, inicial y final o 4) sólo la diferencia entre las dos alturas. ¿Por qué? b) ¿Qué podemos decir que sucedió físicamente con el objeto?
Solución: ∆Ep = mg(hf - hi) → ∆Ep = mg∆h → 10 Joules = (2 kg)(9.8 m/s2)∆h → ∆Ep = 0.51 m.
a) La respuesta es la “4)" sólo es posible determinar la diferencia entre las dos alturas”, porque el cambio en la energía potencial depende sólo de la diferencia de altura, no de las posiciones.
b) Disminuyo su altura en 0.51 m.
60) ●● Una piedra de 0.20 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 7.5 m/s desde un punto situado 1.2 m sobre el suelo. a) Calcule la energía potencial de la piedra en su altura máxima sobre el suelo. b) Calcule el cambio de energía potencial de la piedra entre el punto de lanzamiento y su altura máxima.
Solución: Cuando el cuerpo es lanzado hacia arriba, la velocidad final es cero cuando alcanza su altura máxima: h = h1 + h2 → h = 1.2 m + Vi2/2g → h = 1.2 m + (7.5 m/s)2/2(9.8 m/s2) → h = 4.1 m.
a) Ep = mgh → Ep = (0.20 kg)(9.8 m/s2)(4.1 m) → Ep = 8.04 Joules.
b) ∆Ep = mg∆h → ∆Ep = mg(h - h1) → ∆Ep = (0.20 kg)(9.8 m/s2)(4.1 m - 1.2 m) → ∆Ep = 5.68 Joules.
61) EI ●● El piso del sótano de una casa está 3.0 m por debajo del suelo, y el del desván, 4.5 m sobre el nivel del suelo. a) Si un objeto se baja del desván al sótano, ¿respecto a qué piso será mayor el cambio de energía potencial? 1) Desván, 2) planta baja, 3) sótano o 4) igual para todos. ¿Por qué? b) Calcule la energía potencial respectiva de dos objetos de 1.5 kg que están en el sótano y en el desván, relativa al nivel del suelo. c) ¿Cuánto cambia la energía potencial del objeto del desván si se baja al sótano?
Solución: a) La respuesta es la “4)” igual para todos, porque el cambio en la energía potencia es independiente del nivel de referencia.
b) Respecto al sótano: Ep(sot) = mg∆h → Ep(sot) = (1.5 kg)(9.8 m/s2)(- 3 m) → Ep(sot) = - 44.1 Joules;
Respecto al desván: Ep(desv) = mg∆h → Ep(desv) = (1.5 kg)(9.8 m/s2)(4.5 m) → Ep(desv) = 66.15 Joules
c) Ep = mg∆h → Ep = (1.5 kg)(9.8 m/s2)(- 7.5 m) → Ep = 1.1 x 102 Joules.
62) ●● Una masa de 0.50 kg se coloca al final de un resorte vertical, con una constante de resorte de 75 N/m, y se le deja bajar a su posición de equilibrio. a) Determine el cambio en la energía potencial (elástica) del resorte del sistema. b) Determine el cambio en el sistema en la energía potencial gravitacional.
Solución: En este problema hay dos energías a analizar.
Por la ley Hooke se determina el estiramiento: Felast = K∆X → ∆X = mg/K → ∆X = (0.5 kg)(9.8 m/s2)/(75 n/m) → ∆X = 0.065 m.
Energía potencial elástica: Ep(e) = ½K(∆X)2 → Ep(e) = ½(75 N/m)(0.065 m)2 → Ep(e) = 0.16 Joules.
b) ∆Epg = mg∆h → ∆Epg = (0.5 kg)(9.8 m/s2)(0.065 m) → ∆Epg = 0.32 Joules.
63) ●● Un resorte horizontal, que está en reposo sobre la cubierta de una mesa que no ejerce fricción, se estira 15 cm desde su configuración sin estiramiento y una masa de 1.00 kg se fija a él. El sistema se libera desde el reposo. Una fracción de segundo después, el resorte se encuentra comprimido 3.0 cm con respecto a su configuración sin estiramiento. ¿Cómo se compara su energía potencial final con su energía potencial inicial? (Dé su respuesta en forma de razón entre el valor final y el inicial.) Solución:
Energía potencial elástica inicial: Epi = ½K(
La comparación se puede realizar mediante proporción: Epf/Epi = (½K(
64) ●●● Un estudiante tiene seis libros de texto, todos con un grosor de 4.0 cm y un peso de 30 N. ¿Qué trabajo mínimo tendría que realizar el estudiante para colocar todos los libros en una sola pila, si los seis libros están en la superficie de una mesa? Solución:
La altura para el primer libro es cero porque no se mueve, mantiene el contacto con la mesa (h0 = 0)
1) E1p = mgh0 → E1p = (30 N)(0 m) → E1p = 0 Joules; 2) E2p = mg(h0 + h1) → E2p = (30 N)(0 m + 0.04 m) → E2p = 1.2 Joules;
3) E3p = mg[(h0 + h1)+ h2] → E3p = (30 N)[(0 m + 0.04 m) + 0.04 m] → E3p = 2.4 Joules;
4) E4p = mg[(h0 + h1 + h2) + h3] → E4p = (30 N)(0.08 m + 0.04 m) → E4p = 3.6 Joules;
5) E5p = mg[(h0 + h1 + h2 + h3) + h4] → E5p = (30 N)(0.12 m + 0.04 m) → E4p = 4.8 Joules;
6) E6p = mg[(h0 + h1 + h2 + h3 + h4) + h5] → E5p = (30 N)(0.16 m + 0.04 m) → E4p = 6.0 Joules.
Trabajo minimo realizado por el estudiante: Wt = Ep → Wt = W1 + W2 + W3 + W4 + W5 + W6 → Wt = 0 Joules + 1.2 Joules + 2.4 Joules + 3.6 Joules + 4.8 Joules + 6.0 Joules → Wt = 18 Joules.
65) ●●● Una masa de 1.50 kg se coloca al final de un resorte que tiene una constante de 175 N/m. El sistema masa-resorte se encuentra en reposo sobre una pendiente que no ejerce fricción y que tiene una inclinación de 30° con respecto a la horizontal (figura 5.28). El sistema llega a su posición de equilibrio, donde permanece. a) Determine el cambio en la energía potencial elástica del sistema. b) Determine el cambio del sistema en la energía potencial gravitacional.
Solución: a) En vista que el cuerpo recobra y matiene el equilibrio:
∑Fx = 0 → mgsen15° - k∆x = 0 → ∆x = mgsen15°/k → ∆x = [(1.5 kg)(9.8 m/s2)(0.50)]/(175 N/m) → ∆x = 0.042 m.
Variación de la energia potencial elastica: ∆Eep = ½K(∆X)2 → ∆Eep = ½(175 N/m)(
b) La energia potencial gravitacional sólo depende de la altura, por tanto la altura debe ser determinada:
Sen 30° = ∆h/∆X → ∆h= ∆X sen30° → ∆h= (0.042 m)(0.50) → ∆h= 0.021 m.
Epg = mg∆h → Epg = (1.5 kg)(9.8 m/s2)(0.021 m) → Epg = 0.31 Joules.
5.5 Conservación de la energía.
66) OM La energía no puede a) transferirse, b) conservarse, c) crearse, d) adoptar diferentes formas.
Solucion: La respuesta es la “c)” crearse.
67) OM Si una fuerza no conservativa actúa sobre un objeto, a) la energía cinética del objeto se conserva, b) la energía potencial del objeto se conserva, c) la energía mecánica del objeto se conserva o d) la energía mecánica del objeto no se conserva.
Solucion: La respuesta es la “d)” la energía mecánica del objeto no se conserva.
68) OM La rapidez de un péndulo es máxima a) cuando su energía cinética es mínima, b) cuando su aceleración es máxima, c) cuando su energía potencial es mínima o d) nada de lo anterior.
Solucion: La respuesta es la “b)” cuando su aceleración es máxima.
69) PC Durante una demostración en clase, una bola de bolos colgada del techo se desplaza respecto a la posición vertical y se suelta desde el reposo justo en frente de la nariz de un estudiante (figura 5.29). Si el estudiante no se mueve, ¿por qué la bola no golpeará su nariz? 
Solucion: La energía potencial inicial es igual a la energía potencial final, de manera que la altura final es igual a la altura inicial.
70) PC Cuando usted lanza un objeto al aire, ¿su rapidez inicial es la misma que su rapidez justo antes de que regrese a su mano? Explique el hecho aplicando el concepto de la conservación de la energía mecánica.
Solucion: Como la altura, la velocidad final e inicial en el ascenso y en el descenso es la misma respectivamente, se puede determinar la altura (h) aplicando el principio de conservacion de la energia en ambos casos y por tanto demostrar que la velocidad final en el descenso es la misma que la inicial.
En el ascenso: En el descenso:
Emf = Emi Emf = Emi
½mVf2 + mghf = ½mVi2 + mghi ½mVf2 + mghf = ½mVi2 + mghi
½m(0)2 + mghf = ½mVi2 + mg(0) ½mVf2 + mg(0) = ½m(0)2 + mghi
hf = Vi2/2g hi = Vf2/2g
Vi2/2g = Vf2/2g → Vi2 = Vf2
71) PC Un estudiante lanza una pelota verticalmente hacia arriba hasta alcanzar la altura de una ventana en el segundo piso en el edificio de los dormitorios. Al mismo tiempo que la pelota se lanza hacia arriba, un estudiante asomado por la ventana deja caer una pelota. ¿Las energías mecánicas de las pelotas son iguales a la mitad de la altura de la ventana? Explique su respuesta.
Solucion: Sí. Cuando la pelota lanzada hacia arriba está a su máxima altura, su velocidad es cero, así que tiene la misma energía que la pelota que se deja caer. Como la energía total de cada pelota se conserva, ambas pelotas tendrán la misma energía mecánica a la mitad de la altura de la ventana. De hecho, ambas pelotas tendrán la misma energía cinética y potencial cuando hallan recorrido la misma altura.
Explicación:1) La energía cinética no depende de la altura sino de la velocidad, entonces en la mitad de la altura las energías cinéticas porque sus velocidades son iguales.
2) La energía potencial depende de la altura y en la mitad de la altura habrán recorrido la misma altura, por tanto tendrán la misma energía potencial.
3) Por definición la energía mecánica (Em) es la suma de la energía cinética (Ec) y la energía potencial (Ep), por tanto tienen igual energía mecánica (Em).
72) ● Una pelota de 0.300 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 10.0 m/s. Si la energía potencial inicial se considera como cero, determine las energías cinética, potencial y mecánica a) en su posición inicial, b) a 2.50 m por arriba de su posición inicial y c) a su altura máxima.
Solucion:
a)
Ec = ½mV2 Ep = mghi Em = Ec + Ep
Ec = ½(0.3 kg)(10 m/s)2 Ep = (0.3 kg)(9.8 m/s2)(0 m) Em = 15 Joules + 0 Joules
Ec = 15 Joules Ep = 0 Joule Em = 15 Joules
b) Velocidad a esa altura: Vf = [Vi2 - 2gh]½ → Vf = [(10 m/s)2 - 2(9.8 m/s2)(2.5 m)]½ → Vf = 7 m/s.
Energia cinetica Energia potencial Energia mecánica
Ec = ½mVf2 Ep = mgh Em = Ec + Ep
Ec = ½(0.3 kg)(7 m/s)2 Ep = (0.3 kg)(9.8 m/s2)(2.5 m) Em = 15 Joules + 7.35 Joules
Ec = 7.35 Joules Ep = 7.35 Joule Em = 14.70 Joules
c) Altura maxima: hmax = Vi2/2g → hmax = (10 m/s)2/2(9.8 m/s2) → hmax = 5.10 m.
Velocidad a la altura máxima: Vf = [Vi2 - 2gh]½ → Vf = [(10 m/s)2 - 2(9.8 m/s2)(5.10 m)]½ → Vf = 0 m/s.
Energia cinetica Energia potencial Energia mecánica
Ec = ½mVf2 E = mgh Em = Ec + Ep
Ec = ½(0.3 kg)(0 m/s)2 Ep = (0.3 kg)(9.8 m/s2)(5.10 m) Em = 15 Joules + 7.35 Joules
Ec = 0 Joules Ep = 15 Joule Em = 15 Joules.
73) ● ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota del ejercicio 72?
Solucion: hmax = Vi2/2g → hmax = (10 m/s)2/2(9.8 m/s2) → hmax = 5.10 m.
74) ●● Una pelota de 0.50 kg que se lanza verticalmente hacia arriba tiene una energía cinética inicial de 80 J. a) Calcule sus energías cinética y potencial una vez que haya recorrido las tres cuartas partes de la distancia hacia su altura máxima. b) ¿Cuál es la rapidez de la pelota en este punto? c) ¿Qué energía potencial tiene en su altura máxima? (Use como punto de referencia cero el punto de lanzamiento.)
Solucion: Velocidad inicial en el punto de lanzamiento: Emi = Eci + Epi → Emi = ½mVi2 + mghi, pero en el punto de lazamiento hi = 0, por tanto en el punto de lanzamiento la energía mecánica inicial es sólo energia cinética. Esto es Emi = ½mVi2.
Velocidad inicial: Vi2 = 2Emi/m → Vi = [2Emi/m]½ → Vi = [2(80 N/m)/0.5 kg]½ → Vi = 17.89 m/s.
Altura maxima: En este punto la velo cidad final Vf = 0;
Emf = Ecf + Epf → Emf = ½mVf2 + mghmax → Emf = ½m(0)2 + mghmax → hmax= Emf /mg → hmax= 80 N x m /(0.5 kg)(9.8 m/s2) → hmax= 16.33 m.
Em¾ = Ec¾ + Ep¾ → 80 Loules = Ec¾ + mg(¾hmax) → 80 Loules = Ec¾ + (0.5 kg)(9.8 m/s2)[¾(16.33 m)] → Ec¾ = 80 Loules - 60 Joules → Ec¾ = 20 Loules.
Em¾ = Ec¾ + Ep¾ → Em¾ = 20 Joules + 60 Joules → Em¾ = 80 Joules.
b) Ec¾ = ½m(Vc¾ )2 → (Vc¾ )2 = (2Ec¾)/m → Vc¾ = [2(20 Joules)/0.5 kg]½ → Vc¾ = 8.94 m/s.
Emi = Emi → ½mVi2 + mghi = ½mVf2 + mghmax → ½mVi2 + mg(0) = ½m(0) + mghmax → 80 Joules = Epf.
75) EI ●● Una niña oscila en un columpio cuyas cuerdas tienen 4.00 m de longitud y alcanza una altura máxima de 2.00 m sobre el suelo. En el punto más bajo de la oscilación, está 0.500 m arriba del suelo. a) La niña alcanza su rapidez máxima 1) en el punto más alto, 2) en la parte media o 3) en el punto más bajo de su oscilación. ¿Por qué? b) Calcule la rapidez máxima de la niña.
Solucion: a) La respuesta es la “3) en el punto más bajo de su oscilación porque en éste punto es donde la energía potencial es mínima, ya que la energía potencial depende de la altura y en esta parte del recorrido la altura es mínima.
b) Emb = Emh → Ecb + Epb = Ech + Eph → ½mVb2 + mghb = ½m(Vhmax)2 + mghmax → ½mVb2 - ½m(Vhmax)2 = mghmax - mghb → [Vb2 - (Vhmax)2] = 2g(hmax - hb) → [Vb2 -(0 m/s) 2] = 2(9.8 m/s2)(2 m - 0.5 m) → Vb = [2(9.8 m/s2)(2 m - 0.5 m)]½ → Vb = 5.42 m/s.
76) 74) ●● Un bloque M (1.00 kg) en un plano inclinado a 5° sin fricción está unido mediante una cuerda delgada que pasa por encima de una polea que no ejerce fricción a un bloque suspendido m (200 g). Los bloques se liberan desde el reposo y la masa suspendida cae 1.00 m antes de golpear el piso. Determine la rapidez de los bloques justo antes de que m golpee el piso.
Solucion: La energia mecánica del sistema es constante en cada momento Emi = Emf.
Energía mecánica inicial de ambos bloques:
1) Emi = Eci1 + Epi1 + Eci2 + Epi2 → ½m1Vi12 + m1ghi1 + ½m2Vi22 + m2ghi2 Para hi1 = 0
Emi = ½m1(0 m/s)2 + m1g(0 m) + ½m2(0 m/s)2 + m2ghi2 → Emi = m2ghi2.
2) Emf = Ecf1 + Epf1 + Ecf2 + Epf2 → Emf = ½m1V2 + m1ghf1 + ½m2V2 + m2ghf2 → Emf = ½V2(m1 + m2) + g(m1hf1+ m2hf2), aplicando el principio de conservacion de la energia: Emi = Emf → Emi - Emf = 0.
m2ghi2 = ½V2(m1 + m2) + g(m1hf1+ m2hf2, como hi2 - hf2 = 0; implica que m2ghi2 = ½V2(m1 + m2) + m1ghf1+ m2g(0) → m2ghi2 = ½V2(m1 + m2) + m1ghf1 → V = m2ghi2 - m1ghf1 = ½V2(m1 + m2) → [2m2ghi2 - 2m1ghf1)/(m1 + m2)]½. Sabemos que d = hf2.
h1f = dsen5° → h1f = hf2sen5° → h1f = (1 m)(0.087) → h1f = 0.087 m.
sustituyendo: V = [2(0.2 kg)(9.8 m/s2)(1 m) - 2(1 kg)(9.8 m/s2)(0.087 m)/((1 kg) + (0.2 kg)]½ → V = 1.36 m/s.
77) ●● Un bloque (M) de 1.00 kg yace sobre una superficie plana que no ejerce fricción (figura 5.30). Este bloque está unido a un resorte inicialmente con una longitud de relajamiento (la constante de resorte es 50.0 N/m). Una cuerda delgada se une al bloque y se hace pasar por encima de una polea que no ejerce fricción; del otro extremo de la cuerda pende una masa de 450 g (m). Si la masa suspendida se libera desde el reposo, ¿qué distancia caerá antes de detenerse?
Solución: La palabra clave reposo aparece dos veces en el enunciado del problema. Esta palabra sugiere que las condiciones del sistema asociadas con reposo son buenos indicios para las condiciones iniciales y finales del sistema, ya que la energía cinética del sistema es cero para estas condiciones.
Es necesario considerar dos formas de energía potencial para el sistema, gravitacional y elástica:
∆Emf = ∆Emi
∆Emi = ½m1V12 + m1gh1+ ½KXi2 + ½m2V22 + m2gh2; como V1 = 0, h1 = 0, Xi = 0, V2 = 0; por tanto ∆Emi = m2gh2
∆Emf = ½m1V1f2 + m1gh1f + ½KXf2 + ½m2V2f2 + m2gh2f; como V1f = 0, h1f = 0, V2f = 0, ∆h = 0; por tanto ∆Emf = ½KXf2
Sustituyendo: ∆Emi = ∆Emf → m2gh2 = ½KXf2 ; La deformación del resorte es igual a la distancia recorrida por la masa colgante, por tanto Kf = h2.
al sustituir sen tiene: ½KXf2 = m2gh2 → Kh22/h2 = 2m2g → h2 = 2m2g/K → h2 = 2(0.50 kg)(9.8 m/s2)/(50 N/m) → h2 = 0.176 m.
78) 74) EI ●● Una masa (pequeña) de 500 gr unida al final de una cuerda de 1.50 m de largo se jala hacia un lado a 15° de la vertical y se empuja hacia abajo (hacia el final de su movimiento) con una rapidez de 2.00 m/s. a) ¿El ángulo en el otro lado es 1) mayor, 2) menor o 3) igual que el ángulo en el lado inicial (15 )? Explique su respuesta en términos de energía. b) Calcule el ángulo que se forma en el otro lado, ignorando la resistencia del aire.
Solucion:
Calculo de la altura de X1
Calculo de la altura h1
La energía mecánica en los puntos A y B son iguales. EmB = EmA
½mVB2 + mgh = ½mVA2 + mgh1 → ½mVB2 + mg(0 m) = ½mVA2 + mgh1 → VB = [VA2 + 2gh1]½ → VB = [(2 m/s)2 + 2(9.8 m/s2)(0.05 m)]½ → VB = 2.23 m/s.
Las energias mecanicas en los puntos A y C son iguales: Emc = EmA
½mVC2 + mgh2 = ½mVA2 + mgh1 → m[½VC2 + gh2 ]= m[½VA2 + gh1] → gh2 - gh1 = ½VA2 - ½VC2 → (9.8 m/s2)(h2 - 0.05 m) = ½(2 m/s)2 - ½(0 m/s)2 → h2 = (4 m2/s2)/19.6 m/s2) + 0.5 m → h2 = 0.254 m.
a) La respuesta es la “1” el ángulo en el otro lado será mayor porque se ha suministrado energía en el punto inicial A y terminará a mayor altura en el punto C.
b) Angulo en el otro lado: valor de X2 es L = X2 + h2 → X2 = L - h2 → X2 = 1.5 m - 0.254 m → X2 = 1.25 m.
Cosθ = X2/L → θ = Cos-1(X2/L) → θ = Cos-1(1.25 m/1.5 m) → θ = Cos-1(0.833) → θ = 33.59°.
La energía en un péndulo es constante, por tanto (opcional):
Verificacion: EmA = EmB = EmC.
EmA = ½mVA2 + mgh1 → EmA = ½(0.5 m/s)(2 m/s)2 + (0.5 kg)(9.8 m/s2)(0.05 m) → EmA = 1.24 Joules.
EmB = ½mVB2 + mghB → EmB = ½(0.5 m/s)(2.23 m/s)2 + (0.5 kg)(9.8 m/s2)(0.00 m) → EmB = 1.24 Joules.
EmC = ½mVC2 + mghC → EmC = ½(0.5 m/s)(0 m/s)2 + (0.5 kg)(9.8 m/s2)(0.254 m) → EmA = 1.24 Joules.
79) ●● Cuando cierta pelota de caucho se deja caer desde una altura de 1.25 m sobre una superficie dura, pierde el 18.0% de su energía mecánica en cada rebote. a) ¿Qué altura alcanzará la pelota en el primer rebote? b) ¿Y en el segundo? c) ¿Con qué rapidez tendría que lanzarse la pelota hacia abajo para que alcance su altura original en el primer rebote?
Solucion:
Sean A, B y C altura del rebote. La energia mecanica final e inicial en un sistema conservativo es constante, por tanto: Emf = Emi.
a) ½mVf2 + mghf = ½mVi2 + mghi → m(½Vf2 + ghf) = m(½Vi2 + ghi) → (½Vf2 + (9.8 m/s2)(0 m)) = (½(0 m/s)2 + (9.8 m/s2)(1.25 m)) → ½Vf2 = 12.25 m2/s2 → Vf = [2(12.25 m2/s2)]½ → Vf = 4.95 m/s.
Perdida de energia mecanica en el primer rebote: Emp = 18%(mghi) → Emp = 18%(12.25 Joules) → Emp = 0.18(12.25 Joules) → Emp1 = 2.205 Joules.
Em1r = 12.25 Joules - 2.205 Joules → Em1r = 10.045 Joules.
Velocidad inicial del primer rebote: V1r = [2Emr]½ → V1r = [2(10.045 Joules)]½ → V1r = 4.48 m/s.
Altura alcanzada en primer rebote: h1r = (V1r)2/2g → h1r = (4.48 m/s)2/2(9.8 m/s2) → h1r = 1.03 m.
b) Emf = Emi → ½mVf22 + mghf2 = ½mVi22 + mghi2 → ½mVf22 + mg(0 m) = ½m(0 m/s)2 + mg(1.03 m) → ½Vf22 = (9.8 m/s2)(1.03 m) → Vf2 = 2(10.09 m2/s2)½ → Vf2 = 4.48 m/s.
Perdida de energia mecanica en el segundo rebote: Emp2 = 18%(mgh1r) →
Em2r = Em1r - Emp2 → Em2r = 10.045 Joules - 1.81 Joules → Em2r = 8.24 Joules.
Velocidad del segundo rebote: V2r = [2Emr]½ → V1r = [2(8.24 Joules)]½ → V1r = 4.06 m/s.
Altura alcanzada en el segundo rebote:
En este caso se comparan mediante proporción la razón de la velocidad del primer rebote y la energía que la produce con la razón de la nueva velocidad y la energía original. Luego la ecuación cinemática: V2 = Vi2 + 2gh → Vi2 = V2 - 2gh.
Proporcion: V/Em = Vr/Emr → V/12.25 Joules)= (4.48 m/s)/10.045 Joules → V = [(12.25 Joules)(4.48 m/s)]/10.045 Joules] → V = 5.4634 m/s.
Vi2 = V2 - 2gh → Vi = [(5.4634 m/s)2 - 2(9.8 m/s2)(1.25 m)]½ → Vi = [29.85 m2/s2 - 24.5 m2/s2]½ → Vi = 2.31 m/s.
80) ●● Un esquiador baja sin empujarse por una pendiente muy lisa de 10 m de altura, similar a la que se mostró en la figura 5.21. Si su rapidez en la cima es de 5.0 m/s, ¿qué rapidez tendrá en la base de la pendiente?
Solución: Como no se considera el rozamiento, la energia se conserva y por tanto Emf = Emi.
½mVf2 + mghf = ½mVi2 + mghi → m(½Vf2 + ghf) = m(½Vi2 + ghi) → ½Vf2 + (9.8 m/s2)(0 m) = ½(5 m/s)2 + (9.8 m/s2)(10 m) → Vf2 = 2(12.5 m2/s2 + 98 m2/s2) → Vf = [221 m2/s2]½ → Vf = 14.87 m/s.
81) ●● Un convoy de montaña rusa viaja sobre una vía sin fricción como se muestra en la figura 5.31. a) Si su rapidez en el punto A es de 5.0 m/s, ¿qué rapidez tendrá en B? b) ¿Llegará al punto C? c) ¿Qué rapidez debe tener en el punto A para llegar al punto C?
Solución: a) La energia mecanica en B es igual a la energia mecanica en A: EmB = EmA
b) Altura Alcanzada en C:
c) Comparación de la energía en los puntos A y C: EmA = EmC.
½mVA2 + mghA = ½mVC2 + mghC → m(½VA2 + ghA) = m(½VC2 + ghC) → ½VA2 + (9.8 m/s2)(5 m) = ½(0 m/s)2 + (9.8 m/s2)(8 m) → ½VA2 + 49 m2/s2 = 78.4 m2/s2 → VA = [2(29.4 m2/s2)]½ → VA = 7.70 m/s.
Velocidad alcanzada ahora en el punto B: ½mVB2 + mghB = ½mVA2 + mghA → m(½VB2 + ghB) = m(½VA2 + ghA) → ½VB2 + (9.8 m/s2)(0 m) = ½(7.70 m/s)2 + (9.8 m/s2)(5 m) → VB2 = 2(29.645 m2/s2 + 49 m2/s2) → VB = [157.29 m2/s2]½ → VB = 12.54 m/s.
Altura alcanzada en C: hC = (VB)2/2g → hC = (12.54 m/s)2/2(9.8 m/s2) → hC = 8.023 m, por tanto en este caso alcanza el punto C.
82) ●● Un péndulo simple tiene una longitud de 0.75 m y una pesa con una masa de 0.15 kg. La pesa se suelta desde una posición en que el hilo forma un ángulo de 25º con una línea de referencia vertical (figura 5.32). a) Demuestre que la altura vertical del peso cuando se suelta es
Solución: a)
Verificación: h = L(1 - Cos25°) → h = (0.75 m)(1 - 0.91) → h = 0.07 m.
Energía mecánica: Em = Ec + Ep → Em = ½mV2 + mgh → Em = ½(0.15 kg)(0 m/s)2 + (0.15 kg)(9.8 m/s2)(0.07 m) → Em = 0.1029 Joules.
b) h = L(1 - Cos9°) → h = (0.75 m)(1 - 0.99) → h = 0.0075 m.
Em = Ec + Ep → Em = Ec + mgh → 0.1029 Joules = Ec + (0.15 kg)(9.8 m/s2)(0.0075 m) → 0.1029 Joules = Ec + 0.011025 Joules → EC = 0.1029 Joules - 0.011025 Joules → EC = 0.092 Joules.
c) Em = Ec + Ep → Em = ½mV2 + mgh → 0.1025 Joules = ½(0.15 kg)V2 + (0.15 kg)(9.8 m/s2)(0.00 m) → ½(0.15 kg)V2 = 0.1029 Joules → V = [2(0.1029 Joules)/(0.15 kg)]½ → V = 1.17 m/s.
83) ●● Suponga que el péndulo simple del ejercicio 82 se soltó desde un ángulo de 60º. a) Calcule la rapidez de la pesa en la parte más baja de la oscilación. b) ¿Que altura alcanzara la pesa en el lado opuesto? c) ¿Que ángulo de liberación daría la mitad de la rapidez calculada en el inciso a?
Solución:
a) Altura inicial: hi = L(1 - Cos60°) → hi = (0.75 m)(1 - 0.50) → hi = 0.375 m.
La energía mecánica es la misma en cualquiera de los puntos de su oscilación:
Emi = Ec + Ep → Emi = ½mV2 + mghi → Emi = ½(0.15 kg)(0 m/s)2 + (0.15 kg)(9.8 m/s2)(0.375 m) → Emi = 0.55 Joules.
Rapidez en el punto más bajo: Emf = Emi → ½mVf2 + mghf = ½mVi2 + mghi → ½(0.15 kg)Vf2 + (0.15 kg)(9.8 m/s2)(0 m) = 0.55 Joules → ½(0.15 kg)Vf2 = 0.55 Joules → Vf = [2(0.55 Joules)/0.15 kg]½ → Vf = 2.71 m/s.
b) Como en un péndulo la energía se conserva y en ese punto la velocidad es cero, entonces h2 = hi = 0.375 m.
c) Se debe determinar primero la energía mecánica que tendrá en el punto más bajo de su oscilación para una velocidad igual a la mitad de V. EmV/2 = Ec → EmV/2 = ½m(V/2)2 → EmV/2 = ½(0.15 kg)(2.71 m/s/2)2 → EmV/2 = 0.138 Joules.
Emi = EmV/2 → ½mVi2 + mgh1 = 0.138 Joules → ½(0.15 kg)(0 m/s)2 + (0.15 kg)(9.8 m/s2)h1 = 0.138 Joules → h1 = 0.094 m.
Angulo inicial: h1 = L(1 - cosθ1) → cosθ1 = 1 - h1/L → θ1 = cos-1(1 - h1/L) → θ1 = cos-1(1 - 0.094 m/0.75 m) → θ1 = cos-1(0.875) → θ1 = 29°.
84) ●● Una caja de 1.5 kg que se desliza a 12 m/s por una superficie sin fricción se acerca a un resorte horizontal. (Véase la figura 5.19.) La constante del resorte es de 2000 N/m. a) ¿Que distancia se comprimirá el resorte para detener a la caja? b) ¿Que distancia se habrá comprimido el resorte cuando la rapidez de la caja se haya reducido a la mitad?
Solución: a) Inicialmente la caja sólo posee energía cinética (
b) Se sabe que la energía mecánica es constante porque las fuerzas son conservativas, por tanto cuando la velocidad de la caja es la mitad de la inicial, la energía mecánica es la misma ya que el resorte almacena la otra mitad.
Emf = Emi → ½mVf2 + ½KXf2 = ½mVi2 + ½KXi2 → ½(1.5 kg)(6 m/s)2 + ½(2000 N/m)Xf2 = 108 Joules → (1000 N/m)Xf2 = 108 Joules - 27 Joules → Xf = (81 Joules/1000 N/m)½ → Xf = 0.285 m.
85) ●● Un niño de 28 kg baja por una resbaladilla desde una altura de 3.0 m sobre la base de la resbaladilla. Si su rapidez en la base es de 2.5 m/s, ¿qué trabajo efectuaron fuerzas no conservativas?
Solución: Emi + Efnc = Emf → ½mVi2 + mghi + Efnc = ½mVf2 + mghf → ½(28 kg)(0 m/s)2 + (28 kg)(9.8 m/s2)(3 m) + Efnc = ½(28 kg)(2.5 m/s)2 + (28 kg)(9.8 m/s2)(0 m) → 823.2 Joules + Efnc = 87.5 Joules → Efnc = 87.5 Joules - 823.2 Joules → Efnc = - 735.7 Joules.
86) ●●● Una excursionista planea columpiarse en una cuerda para cruzar un barranco en las montañas, como se ilustra en la figura 5.33, y soltarse cuando este justo sobre la otra orilla. a) ¿Con qué rapidez horizontal debería moverse cuando comience a columpiarse? b) .Por debajo de que rapidez estaría en peligro de caerse al barranco? Explique su respuesta.
Solución: a) Angulo formado: Senθ = X/L → θ = Sen-1(x/L) → θ = Sen-1(1.8 m/4.0 m) → θ = Sen-1(0.45) → θ = 26.74°.
Altura que debe alcanzar para salvar el barranco: h = L(1 - Cos26.74°) → h = (4.0 m)(1 - 0.893) → h = 0.428 m.
Velocidad inicial de la excursionista: Eci = Epf → ½mVi2 = mgh → Vi = (2gh)½ → Vi = (2(9.8 m/s2)(0.428 m))½ → Vi = 2.90 m/s, por tanto su velocidad debe ser mayor o igual que la inicial (V > Vi).
b) Por debajo de la velocidad inicial: V < Vi.
87) ●●● En el ejercicio 80, si el esquiador tiene una masa de 60 kg y la fuerza de fricción retarda su movimiento efectuando 2500 J de trabajo, ¿qué rapidez tendrá en la base de la cuesta?
Solución: Emi + Efnc = Emf → ½mVi2 + mghi + Efnc = ½mVf2 + mghf → ½(60 kg)(5 m/s)2 + (60 kg)(9.8 m/s2)(10 m) + (- 2500 Joules) = ½(60 kg)Vf2 + (60 kg)(9.8 m/s2)(0 m) → 750 Joules + 5880 Joules - 2500 Joules = (30 kg)Vf2 → Vf = (4130 joules/30 kg)½ → Vf = 11.73 m/s.
88) ●●● Un bloque de 1.00 kg (M) está sobre un plano inclinado 20° que no ejerce fricción. El bloque está unido a un resorte (k = 25 N/m), que se encuentra fijo a una pared en la parte inferior del plano inclinado. Una cuerda delgada atada al bloque pasa por encima de una polea que no ejerce fricción hacia una masa suspendida de 40.0 g. A la masa suspendida se le da una rapidez inicial de 1.50 m/s hacia abajo. ¿Que distancia cae antes de llegar al reposo? (Suponga que el resorte no tiene límites en cuanto a la distancia que puede estirarse.)
Solución:
5.6) Potencia:
89) OM ¿Cuál de las siguientes no es una unidad de potencia? a) J/s; b) W . s; c) W; d) hp.
Solución: La respuesta es la “b”, w • s
90) OM Considere un motor de 2.0 hp y otro de 1.0 hp. En comparación con el motor de 2.0, para una cantidad dada de trabajo, el motor de 1.0 hp puede hacer a) el doble de trabajo en la mitad del tiempo, b) la mitad del trabajo en el mismo tiempo, c) un cuarto del trabajo en tres cuartas partes del tiempo, d) ninguna de las opciones anteriores es verdadera.
Solución: La respuesta es la “b”, la mitad del trabajo en el mismo tiempo.
91) PC Si usted revisa su cuenta de electricidad, notara que está pagando a la compañía que le presta el servicio por tantos kilowatts-hora (kWh). ¿Realmente está pagando por potencia? Explique su respuesta, Además, convierta 2.5 kwh a J.
Solución: No, está pagando por energía consumida, ya que por definición la energía es el producto de la potencia por el tiempo. Ee = Pe x t. Así 2.5 kwh a Joules = 2.5 x 1000 J/s x 3600 s = 9 x 106 Joules.
92) PC a) ¿La eficiencia describe que tan rápido se realiza el trabajo? Explique su respuesta. b) .Una maquina más potente siempre realiza más trabajo que una menos potente? Explique por qué.
Solución: a) Si, ya que la eficiencia es la razón entre el trabajo obtenido y la energía entregada. b) Si, ya que para dos máquinas que funcionan en las mismas condiciones el mismo tiempo realiza mayor trabajo la que desarrolle mayor potencia.
93) PC Dos estudiantes que pesan lo mismo parten simultáneamente del mismo punto en la planta baja, para ir al mismo salón en el tercer piso siguiendo rutas distintas. Si llegan en tiempos distintos, ¿cuál estudiante habrá gastado más potencia? Explique su repuesta.
Solución: Efectúan la misma cantidad de trabajo porque ambos alcanzan la misma altura, Así que el que llega primero habrá gastado más potencia a causa del intervalo de tiempo más corto.
94) ● ¿Que potencia en watts tiene un motor con especificación de
Solución: Sí 1 hp = 746 watt, entonces 1/2(hp) = 1/2(746 watt) → 1/2(hp) = 373 watts.
95) ●Una chica consume 8.4 x 106J (2000 calorías alimentarias) de energía al día y mantiene constante su peso. ¿Qué potencia media desarrolla en un día?
Solución: La potencia es la relación entre el trabajo realizado y el tiempo empleado. P = Wt/t → P = 8.4 x 106 Joules/86400 seg → P = 97.22 Joules/seg (watts).
96) ● Un auto de carreras de 1500 kg puede acelerar de 0 a 90 km/h en 5.0 s. ¿Qué potencia media requiere para hacerlo?
Solución: Conversión: 90 km/h x 1000 m/km x 1 h/3600 s = 25 m/s. Trabajo realizado (Energía): Wt = Ec → Wt = ½mV2 → Wt = ½(1500 kg)(25 m/s)2 → Wt = 468750 Joules.
Potencia: P = Wt/t → P = 468750 Joules/5 seg → P = 93750 Joules/seg (watts).
97) ● Las dos pesas de 0.50 kg de un reloj cucú descienden 1.5 m en un periodo de tres días. ¿Con que rapidez está disminuyendo su energía potencial gravitacional?
Solución: Energía potencial: Ep = mgh → Ep = (2 x 0.5 kg)(9.8 m/s2)(1.5 m) → Ep = 14.70 Joules.
Disminución de la energía potencial: P = Ep/t → P = 14.7 Joules/3(8.64 x 104 seg) → P = 14.7 Joules/(2.59 x 105 seg) → P = 5.7 x 10-5 Joules/seg (watts).
98) ● Una mujer de 60 kg sube corriendo por una escalera con una altura (vertical) de 15 m en 20 s. a) ¿Cuanta potencia gasta? b) ¿Qué especificación tiene en caballos de fuerza?
Solución: a) Energía potencial: Ep = mgh → Ep = (60 kg)(9.8 m/s2)(15 m) → Ep = 8820 Joules. Potencia gastada: P = Ep/t → P = 8820 Joules/20seg → P = 441 Joules/seg (watts).
b) Sí 1 hp = 746 watt, entonces, 441 watts x 1 hp/746 watts = 0.59 hp.
99) 10) ●● Un motor eléctrico que produce 2.0 hp impulsa una maquina cuya eficiencia es del 40%. ¿Cuánta energía produce la máquina por segundo?
Solución: ε = (Psalida)/(Pentrada)x 100 → Psalida = ε x (Pentrada)/100 → Psalida = 40 x 2(746 watts)/100 → Psalida = 596.80 watts.
100) ●● Se levanta agua de un pozo de 30.0 m con un motor cuya especificación es de 1.00 hp. Suponiendo una eficiencia del 90%, ¿cuantos kilogramos de agua se pueden levantar en 1 min?Solución: ε = (Psalida)/(Pentrada) x 100 → Psalida = ε x (Pentrada)/100 → Psalida = 90(746 watts)/100 → Psalida = 671.4 watts.
Ep = Psalida x t → mgh = Psalida x t → m = (Psalida x t)/gh → m = [(671.4 joules/s)(60 s)]/[(9.8 m/s2)(30 m)] → m = [40284 kg x m2/s2]/[294 m2/s2] → m = 137 kg.
101) ●● En un periodo de 10 s, un estudiante de 70 kg sube corriendo dos tramos de las escaleras cuya altura vertical combinada es de 8.0 m. Calcule la producción de potencia del estudiante al efectuar un trabajo en contra de la gravedad en a) watts y b) caballos de fuerza.
Solución: Energía potencial: Ep = mgh → Ep = (70 kg)(9.8 m/s2)(8 m) → Ep = 5488 Joules.
a) Potencia en contra la gravedad: P = Ep/t → P = 5488 Joules/10 seg P = 548.8 watts.
b) 548.8 watts x hp/746 watts = 0.74 hp.
102) ●● ¿Cuánta potencia debe ejercer una persona para arrastrar horizontalmente una mesa de 25.0 kg 10.0 m a través de un piso de ladrillo en 30.0 s a velocidad constante, suponiendo que el coeficiente de fricción cinética entre la mesa y el piso es 0.550?
Solución: Como la velocidad es constante, la fuerza resultante es igual a la fuerza de rozamiento.
F = fr → F = µk FN → F = µk mg → F = (0.550) (25 kg)(9.8 m/s2) → F = 134.75 N.
Trabajo realizado: Wt = Fd → Wt = (134.75 N)(10.0 m) → Wt = 1347.5 Joules.
Potencia desarrollada: P = Wt/t → P = 1347.5 Joules/30 seg → P = 44.92 Joules/seg (watts).
103) ●●● Un avión de 3250 kg tarda 12.5 min en alcanzar su altura de crucero de 10.0 km y su velocidad de crucero de 850 km/h. Si los motores del avión suministran, en promedio, una potencia de 1500 hp durante este tiempo, ¿qué eficiencia tienen los motores?
Solución: conversion: 10 km x 1000 m/km = 10000 m; 850 km/h x 1000 m/km x 1 h/3600 s = 236 m/s; 12.5 min x 60 seg/min = 750 seg.
Trabajo realizado para alcanzar la velocidad de crucero: el trabajo realizado por los motores es la variacion de energía inicial y final.
Wt = Emf - Emi → Wt = ½mVf2 + mghf - ½mVi2 + mghi → Wt = ½(3250 kg)(236 m/s)2 + (3250 kg)(9.8 m/s2)(10000 m) - ½(3250 kg)(0 m/s)2 + (3250 kg)(9.8 m/s2)(0 m) → Wt = 4.09 x 108 Joules.
Potencia desarrollada para alcanzar la velocidad de crucero a una altura de 10 km: P = Wt/t → P = 4.09 x 108 Joules/750 seg → P = 545333.33 Joules/seg → expresado en hp es: P = 731 hp.
Eficiencia de los motores en ese tiempo de 12.5 min: ε = (Psalida)/(Pentrada) x 100 → ε = (731 hp/1500 hp) x 100 → ε = 48.73 %.
●●● UN caballo tira de un trineo y su conductora, que tienen una masa total de 120 kg, por una cuesta de 15 figura 5.34. a) Si la fuerza de fricción total retardaste es de 950 N y el trineo sube la cuesta con una velocidad constante de 5.0 km/h, ¿qué potencia está generando el caballo? (Exprésela en caballos de fuerza, naturalmente. Tome en cuenta la magnitud de su respuesta, y explíquela.) b) Suponga que, haciendo acopio de energía, el caballo acelera el trineo uniformemente, de 5.0 a 20 km/h, en 5.0 s. Calcule la potencia instantánea máxima desarrollada por el caballo. Suponga la misma fuerza de fricción.
Solución:
Diagrama de cuerpo libre
a) El movimiento es en el eje X a velocidad constante, por tanto la fuerza ejercida por el Caballo es: ∑F = 0 → F - fr - mgsen15° = 0 → F = fr + mgsen15° → F = 950 N + (120 kg)(9.8 m/s2)(0.2588) → F = 1254.35 N.
Potencia desarrollada por el caballo: P = FV → P = (1254.35 N)(5 km/h) → P = (1254.35 N)(1.39 m/s) → P = 1743.55 watts → P = 2.34 hp.
b) Aceleracion: a = (Vf - Vi)/t → a = (20 km/h - 5 km/h)/5 seg → a = (5.56 m/s - 1.39 m/s)/5 seg → a = 0.834 m/s2.
Fuerza ejercida por el caballo: ∑F = ma → F - fr - mgsen15° = ma → F = ma + fr + mgsen15° → F = (120 kg)(0.834 m/s2) + 950 N + (120 kg)(9.8 m/s2)(0.2588) → F = 1354.43 N.
Potencia desarrollada: P = FV → P = (1354.43 N)(5.56 m/s) → P = 7530.63 watts → P = 10.09 hp.
10) ●●● Un montacargas utilizado en la construcción ejerce una fuerza hacia arriba de 500 N sobre un objeto cuya masa es de 50 kg. Si el montacargas parte del reposo, determine la potencia que este ejerce para subir el objeto verticalmente durante 10 seg en tales condiciones.
Solución:
Calculo de la altura alcanzada en los 10 seg. Hay que tener ∑F = 0 → F - fr - mgsen15° = 0que sólo hay movimiento en eje vertical, por tanto.
Sumatoria de las fuerzas actuantes: ∑Fy = ma → F - mg = ma → 500 N - (50 kg)(9.8 m/s2)= (50 kg)a → a = (10 N)/(50 kg) → a = 0.20 m/s2.
Altura alcanzada: h = Vit + ½at2 → h = (0 m/s)(10 s) + ½(0.20 m/s2)(10 s)2 → h = 10 m.
Potencia desarrollada: P = (F x h)/t → P = (500 N)(10 m)/10 seg P = 500 watts.