Logaritmo y Propiedades

Definición: el logaritmo de un número, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número.
Así Log_a b = x → a^x = b
· a = base tanto en la potenciación como en la logaritmación.
· x = exponente de la potencia, también llamado logaritmo.
· b = argumento del logaritmo, también llamado potencia.
                                                                Memorice y observe la tabla     

1)    Log₅ 125 = x → 5^x = 5³ 
Si dos cantidades son iguales y tienen la misma base, entonces los exponentes son iguales (propiedad biunívoca de funciones). Por tanto x = 3 
2) Log₂ 128 = x → 2x = 27 → x = 7 
Logaritmos decimales
Cuando los logaritmos son de base 10 se llaman decimales y se puede prescindir de la base.
Log₁₀ a = b → 10^b = a. Este logaritmo puede escribirseLog₁₀ a = b → Log a = b
El logaritmo de la base es1, es decir, Log10 = 1. Porque 10¹ = 10. 
Log 100 = 2 porque 10² = 100;           Log 1000 = 3 porque 10³ = 1000            Log 10,000 = 4 porque 10⁴ = 10,000
Log 100,000 = 5 porque 10⁵ = 100,000      Log 0.1 = -1 porque 10^-1 = 1/10       Log 0.01 = -2 porque 10^{- 2} = 1/100    Log 0.001 = -3 porque 10^{- 3} = 1/1000
Los únicos números de este sistema cuyos logaritmos son enteros son las potencias de diez.
 Log 1 = 0         Log 0.1 = - 1 Log 10 = 1       Log 0.01 = - 2      Log 100 = 2       Log 0.001 = - 3      Log 1000 = 3, etc.      Log 0.0001 = - 4, etc.
El logaritmo de todo número que no es potencia de 10 no es un entero, sino una fracción propia o un entero más una fracción propia o mantisa.
Si Log 1 = 0 y Log 10 = 1 entonces los números comprendidos entre 1 y 10 tendrán un logaritmo mayor que 0 y menor que 1; su logaritmo será una fracción propia.
a)    Log 2 = 0.301030;              b)  Log 3 = 0.477121                  c) Log 4 = 0.602060
Si Log 10 = 1 y Log 100 = 2, entonces los números comprendidos entre 10 y 100 tendrán un logaritmo mayor que 1 y menor que 2. Su logaritmo será 1 más una fracción propia.
a)    Log 12 = 1 + 0.176091 → Log 12 = 1.176091                 b)    Log 73 = 1 + 0.863323 → Log 73 = 1.863323
Si Log 100 = 2 y Log 1000 = 3, entonces los números comprendidos entre 100 y 1000 tendrán un logaritmo mayor que 2 y menor que 3; su logaritmo será 2 más una fracción propia, Así sucesivamente.
a)    Log 123 = 2 + 0.089905 → Log 123 = 2.089905               b)    Log 568 = 2 + 0.754348 → Log 568 = 2.754348
                                                                Parte entera y mantisa
Se puede resumir de lo anterior que los logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.
·  Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.
·  Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero)
. Los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica
. La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 de dicho número
. La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva
. La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva
. Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal, colocando una rayita encima de  la característica seguido de la mantisa.
Determina cada logaritmo usando la definición
1. Log_1/4 (256)^1/4 = x     En este caso debe expresase el radicar como potencia
Log_1/4 (256)^1/4 = x → (1/4)^x = (256)^1/4    →  (1/2²)^x = (2⁸)^1/4
((2²) ^{– 1})^x = (2⁸)^1/4  →  ((2) ^{– 2})^x = (2)^8/4  →  (2) ^{– 2x} = (2)² 
-2x = 2  →  x = 2/-2    →  x = - 1
2. Log₈₁ 3 = x                 3. Log₁₂₅ 5 = x            4.    Log_1/3 (27)^1/3 = x             5. Log₂ 32 = x 
Ejercicios:
I. Pase de la forma exponencial a la forma logarítmica cada expresión:
a) 2⁸ = 256;        c)  2 ^{– 5} = 1/32;      e)  (1/5) ^{– 2} = 25       b) 36^1/2 = 6;        d)  4⁰ =1;          f)  (1/125)^1/3 = 5
II. Pase de la forma logarítmica a la forma exponencial cada expresión:
a) Log₄₉ 7 =1/2       b)  Log₁₅ 15 = 1        c)  Log₁₀ 0.001 = - 3         d) Log₁₂ 1/1728 = - 3        e)  Log_27/8 9/4 = 2/3      f)   Log₍₈₎^1/3 = 3
III. Calcule el valor de “x” en cada caso:
a) Log₈₁3 = x      b)  Log₁₂₅ 5 = x         c)  Log_1/3 (27)^1/3 = x     d) Log₂ 32 = x       e)  Log_1/2 5 = x           f)  Log_0.3 1000/27 = x   
IV.Encuentre el valor de la variable involucrada en cada expresión:
a) Log_1/6 x = 3      b)  Log₁₀₀ 10 = y       c) Log₍₈₎^1/2  1/8 = y       d) Log_2b 0.1 = - 1      e)  Log_1/16 x = 1/4       f)  Log₁₀ 1000 = y/2   
V. Calcule el valor de cada expresión:
a) Log_3/4 (Log_1/27 1/81                              b)  Log₂ (Log₄ 256)
VI.  Despeje y, x ó b según se indique
a) Lo₂ 16 = y         c)  Log₇ x = -2      d)  Log_b 125 = 3        b) Log₂₇ 3 = y       e)  Log_b 16/81 = 4        f)  Log_0.2 5 = x
 Propiedades Básicas de los logaritmos
Propiedades 1.  El logaritmo de 1 en cualquier base es cero
Log_a 1 = x → a^x = 1, para que una base diferente de cero, elevada a un exponente sea igual a 1, por la ley de los exponentes el exponente de la base debe ser cero. Cualquier cantidad elevada a la cero es 1.
a^x = 1 → a⁰ = 1 → x = 0. La base de un logaritmo es siempre un número positivo y diferente de 1.
Ejemplos:    a) Log₃ 1 = 0 porque 3⁰ = 1;            c)  Log 1 = 0 porque 10⁰ = 1          b)    Ln 1 = 0 porque e⁰ = 1
Propiedades 2.   El logaritmo de la base es siempre 1.   Log_a a = x → a^x =a¹ por tanto x = 1      
Ejemplos:
a) Log₁₀ 10 = 1 porque 10⁰ = 1              c)  Ln e = 1 → Log_e e = 1 porque e⁰ = 1          b) Log₆ 6 = 1 porque 6⁰ = 1
Propiedades 3.  El logaritmo en cualquier base del producto de dos cantidades es igual a la suma de los logaritmos de las cantidades en la misma base.
Log_a (A*B) = Log_a A +Log_a B
Log_a A = A → a^A = A       ⇒      Log_a (a^A * a^B) = a^A+B ;      Log_a B = B → a^B = B          ⇒     Log_a a^A+B = A+B
Log_a (A*B) = Log_a (a^A • a^B)     por tanto     Loga (A*B) = Log_a A + Log_a B    (L.Q.Q.D)
Propiedades 4.  El logaritmo en cualquier base del cociente de dos cantidades es al logaritmo en la misma base del numerador menos el logaritmo del denominador.
Log_a (A/B) = Log_a A - Log_a B  Por la propiedad de la potencia   Log_a A = A  →  a^A = A;          Log_a B = B  →  a^B = B
 Log_a (A/B) = Log_a (a^A/a^B)    →  Log_a (a^A/a^B) = Log_a a^{A – B}   Por definición Log_a a^{A – B} = A – B    →  Log_a (A/B) =  Log_a A – Log_a B    L.Q.Q.D 
Ejemplos:    a) Log₄ (4096/16) = Log₄ 4096 – Log₄ 16  ⇒ Log₄ 4096 = 4⁶;   Log₄ 16 = 4²
Log₄ (4096/16) = Log₄ (4⁶/4²)  → Log₄ (4096/16) = Log₄ 4^{6 – 2}   por tanto  Log₄ (4096/16) = Log₄ 4⁴   
Se cumple que el exponente de la base en el primer miembro es igual a la diferencia de los exponentes en el segundo miembro 4 = 6 – 2
Log (100,000/1000) = Log100,000 – Log1000   ⇒  Log100 =  Log100, 000 – Log1000  Log100 = 2;        Log100, 000 = 5  y  Log1000 = 3  ⇒   2 = 5 – 3 
Propiedades 5.   El logaritmo en cualquier base de una potencia es igual al exponente por el logaritmo en la misma base del número.
Log_a(A)ⁿ = (n)(Log_a A)       por la propiedad de potencia
Log_a A = A → a^A = A           Log_a (a^A)ⁿ = Log_a a^n*A  
Log_a(A)ⁿ = Log_a (a^A)^{n          →}  Log_a a^n*A = n*A 
Como A = Log_a A  →   Log_a(A)ⁿ = (n)(Log_a A) L.Q.Q.D  
Ejemplos:     a) Log₃243 = Log₃3⁵ ;          Log₃3 = 1   →  Log₃3⁵ = (5)(1)  →  Log₃243 = 5 
b) Log₇ 40353607 = Log₇ 7⁹  ;      Log₇ 7 = 1   →  Log₇ 7⁹ = (9)(1)    →   Log₇ 40353607 = 9 
Logaritmo de una cantidad con raíz.
Log_a (k)^1/n = (1/n)(Log_a k)    ;     Log_a(k)^1/n = Log_a k^1/n  Definición de raíz.
Log_a (k)^1/n = (1/n)(Log_a k)     Definición de una potencia   
Log_a (k)^1/n = (1/n)(Log_a k)      L.Q.Q.D
  Ejemplos:  a) Log₃ (27)^1/3 = (1/3)(Log₃27)   →    Log₃(27)^1/3 = (1/3)(Log₃ 3³)    
Log₃ 3 = 1  →   (1/3)(Log₃ 3³) = (1/3)(3)(Log₃ 3) 
Log₃ (27)^1/3 =  (1/3)(3)(1)  →   Log₃(27)^1/3 =  (3/3)(1)    
Log₃ (27)^1/3 =  (1)(1)  →  Log₃(27)^1/3 =  1  
De forma sencilla  Log₃ (27)^1/3 = Log₃ 3  →  Log₃ (27)^1/3 = 1  
Logaritmo de algunos dígitos: 
Log 2 = 0.301030      Log 3 = 0.477121       Log 5 =0.698970        Log 7 = 0.845098        Log 11 = 1.041393       Log 13 = 1.113943 
b) Se sabe que Log 2 = 0.301030 y log 3 = 0.477121. Determine Log (24)^1/2
Log (24)^{1/2 =} (1/2)(Log 24).  Aplicando la propiedad del Log de una potencia se tiene
Log (24)^1/2 = (1/2)(Log 3 x  8 )  → Log (24)^1/2 =  (1/2)(Log 3 + Log 2³)  
Log (24)^1/2 =  (1/2)(Log 3 + (3)Log 2)  →  Log (24)^1/2 =  (1/2)(0.477121 + (3)(0.301030))
Log (24)^1/2 =  (1/2)(0.477121 + 0.903090)  →  Log (24)^1/2 =  (1/2)(1.380211)   ⇒  Log (24)^1/2 = 0.690106       
En las actividades reales para calcular el Log de un número se usa una calculadora científica.
Cambio de base de un logaritmo
Como transformar el logaritmo de una base a otra base.
1.    Log_a X = Log_b X/Log_a X ;  Log_a X = A  →  a^A = X;  Log_b X = B ;  → b^B = X  Como a^A = X  ;  b^B = X → a^A  = b^B y por tanto   Log_a X = Log_b X
Sustituyendo Log_b a^A = Log_bb^B  →  A* Log_b a = B * Log_b b  por lapropiedad de la potencia.
Se sabe que Log_b b = 1  →  A* Log_b a = B * 1 y despejando A se tiene  A = B/ Log_b a  →  Log_a X = Log_b X/Log_a X  
Cambio a base decimal  
 2. Log_a X = Log_b X/Log_a X b   Implica que  Log_a X = Log_e X/Log_e a       ó    Log_a X = L_nX/L_n a
Ejemplos:   I. Resuelve aplicando las propiedades de los logaritmos.
1. Log₂16 +Log₃27 + Log₅625 = Log₂2⁴ +Log₃3³ + Log₅5⁴ ⇒ Log₂16 +Log₃27 + Log₅625 =4 * Log₂ 2 + 3 * Log₃ 3 + 4 * Log₅ 5
Log₂16 +Log₃27 + Log₅625 =4 * 1 + 3 * 1 + 4 * 1 ⇒ Log₂16 +Log₃27 + Log₅625 =4 + 3 + 4  →  Log₂16 +Log₃27 + Log₅625 =11
2. Log₃ 243 - Log₃ 9 + Log₃ 162 - Log₃ 6 =( Log₃ 243 - Log₃ 9) + (Log₃ 162 – Log₃6)
Log₃ 243 - Log₃ 9 + Log₃ 162 - Log₃ 6 = Log₃ (243/9) + Log₃ 162/6)  ⇒ Log₃ 243 - Log₃ 9 + Log₃ 162 - Log₃ 6 = Log₃ 27 + Log₃ 27
Log₃ 243 - Log₃ 9 + Log₃ 162 - Log₃ 6 = Log₃ (27 * 27)  ⇒  Log₃ 243 - Log₃ 9 + Log₃ 162 - Log₃ 6 = Log₃ 729
Log₃ 243 - Log₃ 9 + Log₃ 162 - Log₃ 6 = Log₃ 3⁶  ⇒  Log₃ 243 - Log₃ 9 + Log₃ 162 - Log₃ 6 = 6 * Log₃ 3 
Log₃ 243 - Log₃ 9 + Log₃ 162 - Log₃ 6 = 6 * 1  ⇒  Log₃ 243 - Log₃ 9 + Log₃ 162 - Log₃ 6 = 6
3. 1/2 * Log5100 + Log5(7/3) = Log₅(100)^1/2 + Log₅(25/10)   ⇒  1/2 * Log₅100 + Log₅(25/10) = Log₅10 + Log₅(25/10)
1/2 * Log₅100 + Log₅(25/10) = Log₅(10 * 25/10)  ⇒  1/2 * Log₅100 + Log₅(25/10) = Log₅(250/10)
1/2 *  Log₅100 + Log₅(25/10) = Log₅25  ⇒  1/2 * Log₅100 + Log₅(25/10) = Log₅ 5²
1/2 * Log₅100 + Log₅(25/10) =2 * Log₅5  ⇒  1/2 * Log₅100 + Log₅(25/10) =2 * 1
 Log₅100 + Log₅(25/10) =2
Aplicando las propiedades de los logaritmos escribir como una sola expresión:
5.   7 * Log₂A – 2 * Log₂B + 2/3 * Log₂C = Log₂A⁷ – Log₂B² + Log₂C^2/3    
   7 * Log₂A – 2 * Log₂B + 2/3 * Log₂C = Log₂ ((A⁷/B²) * C^2/3)   
6.    1/2 * LogP + 3 * LogQ – LogR – 2 * LogS = LogP^1/2 + LogQ³ – LogR – LogS²
1/2 * LogP + 3 * LogQ – LogR – 2 * LogS = (Log(P)^1/2 + LogQ³) – (LogR + LogS²)  
1/2 * LogP + 3 * LogQ – LogR – 2 * LogS = Log(P^1/2 * Q³) – Log(R * S²)
1/2 * LogP + 3 * LogQ – LogR – 2 * LogS = Log(P^1/2 * Q³)/(R * S²)                    
Aplicando las propiedades de los logaritmos desarrolla cada expresión:
7. Log₅ ((A⁴ * B⁶ * C^1/3)/D⁷) = Log₅ A⁴ + Log₅ B⁶ + Log₅ C^1/3 – Log₅ D⁷  ⇒ Log₅ ((A⁴ * B⁶ * C^1/3)/D⁷) = 4 * Log₅ A + 6 * Log₅ B + 1/3 * Log₅ C  – 7 * Log₅ D
8. Log((x * x^1/2)/(x² * y * z⁴)^1/3) =  Log X + ½ * Log X – 1/3 * Log(X² * y * Z⁴)
Log((x * x^1/2)/(x² * y * z⁴)^1/3) = Log X(1+ 1/2) – 1/3 * (LogX² + LogY + LogZ⁴)
Log((x * x^1/2)/(x² * y * z⁴)^1/3) = Log X(1+ 1/2) – 1/3 * (2 * LogX + LogY + 4 * LogZ)
Log((x * x^1/2)/(x² * y * z⁴)^1/3) = 3/2 * Log X – 2/3 * LogX – LogY – 4/3 * LogZ
Ejercicios: I. Aplicando las propiedades convierta cada expresión como el logaritmo de una sola.
a) Log₂ X +  Log₂ X + Log₂ 3      b)  2 * Log₃(X – 1) + ½ * Log₂ X + Log₃ X        c) Log₅ (X + 1) – Log₅ (X + 2)      
d)  1/3 * Log_b (X² – 1) + Log_b 3 – 1/3 * Log_b (X +1)      e) [ Log₇ (X² + 4X + 4) – Log₇ X + 2)]     f)  1/4 * Log₄ X2 –1/2 * Log₄ (X2 + 1) – 2 * Log₄ (X + 3)

 Sigue ejercicios en "Función logarítmica"