Analítica de la circunferencia I
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Ecuación Ordinaria
La distancia entre dos puntos se determina d(C,P) = √(x – x1)2 + (y – y1)2
En la circunferencia anterior:la distancia de C a P es d(c,p) = r
√(x – h)2 + (y - k)2 = r → Elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene(x – h)2 + (y – k)2 = r2 Ecuación ordinaria de la circunferencia.
La distancia entre dos puntos se determina d(C,P) = √(x – x1)2 + (y – y1)2
En la circunferencia anterior:la distancia de C a P es d(c,p) = r
√(x – h)2 + (y - k)2 = r → Elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene(x – h)2 + (y – k)2 = r2 Ecuación ordinaria de la circunferencia.
Ecuación reducida de la circunferencia
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas, entonces h = 0; k = 0 y la ecuación ordinaria (x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 queda reducida a x2 + y2 = r2
Ecuación general de la circunferencia
Si se desarrolla la ecuación ordinaria (x – h)2 + (y – k)2 = r2 se obtiene la ecuación general.
(X2 – 2hx + h2) + (y2 – 2ky + k2) = (r)2 → X2 + y2 – 2hx – 2ky + y2 + k2 – r2 = 0
Haciendo D = -2h → h = D/-2; E = -2k → K = E/-2
C = h2 + k2 – r2 Sustituyendo X2 + y2 + Dx + Ey + C = 0
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas, entonces h = 0; k = 0 y la ecuación ordinaria (x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 queda reducida a x2 + y2 = r2
Ecuación general de la circunferencia
Si se desarrolla la ecuación ordinaria (x – h)2 + (y – k)2 = r2 se obtiene la ecuación general.
(X2 – 2hx + h2) + (y2 – 2ky + k2) = (r)2 → X2 + y2 – 2hx – 2ky + y2 + k2 – r2 = 0
Haciendo D = -2h → h = D/-2; E = -2k → K = E/-2
C = h2 + k2 – r2 Sustituyendo X2 + y2 + Dx + Ey + C = 0
El centro de la circunferencia (h, k) → C(D/-2, E/-2)
El radio de la circunferencia está determinado r2 = (D/-2)2 + (E/-2)2 - C
El radio de la circunferencia está determinado r2 = (D/-2)2 + (E/-2)2 - C
Condiciones para que una ecuación general x2 + y2 + Dx + Ey + C = 0, sea una circunferencia.
1) Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, se divide por él todos los términos de la ecuación.
2) Que no tenga término en x,y.
3) Que (D/2)2 + (E/2)2 – C > 0
Ejercicios Resueltos
1)Si el radio de una circunferencia es 3cm y centro (2, 5).
Determina la ecuación ordinaria y general. haz la gráfica.
a) La ecuación ordinaria
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x – 2)2 + (y – 5)2 = 9
1) Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, se divide por él todos los términos de la ecuación.
2) Que no tenga término en x,y.
3) Que (D/2)2 + (E/2)2 – C > 0
Ejercicios Resueltos
1)Si el radio de una circunferencia es 3cm y centro (2, 5).
Determina la ecuación ordinaria y general. haz la gráfica.
a) La ecuación ordinaria
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x – 2)2 + (y – 5)2 = 9
b) La ecuación general
(x – 2)2 + (y – 5)2 = 9 → x2 – 2(x)(2) + 4 + y2 – 2(y)(5) + 25 = 9
X2 – 4x + 4 + y2 – 10y + 25 = 9 → X2 + y2 –4x –10y +29 –9 =0
x2 + y2 – 4x – 10y + 20 = 0
2) La ecuación ordinaria de una circunferencia es (x + 4)2 + (y - 6)2 = 16. Hallar centro, el radio y gráfica.
-h = 4 → h = -4; -k = -6 → k = -(-6) → k = 6
r2 = 16 → √r2 = √16 → r = 4
Ecuación general
La ecuación general de una circunferencia es x2 + y2 + Dx + Ey + C = 0
D = -2h → D = -2(-4) → D = 8; E = -2k → E = -2(6) → E = -12
C = (D/-2)2 + (E/-2)2 – r2 → C = (8/-2)2 + (-12/-2)2 – (4)2
C =(-4)2 + (6)2 –16 → C =16+36–16 → C = 36 Sustituyendo x2 + y2 + 8x – 12y + 36 = 0
(x – 2)2 + (y – 5)2 = 9 → x2 – 2(x)(2) + 4 + y2 – 2(y)(5) + 25 = 9
X2 – 4x + 4 + y2 – 10y + 25 = 9 → X2 + y2 –4x –10y +29 –9 =0
x2 + y2 – 4x – 10y + 20 = 0
2) La ecuación ordinaria de una circunferencia es (x + 4)2 + (y - 6)2 = 16. Hallar centro, el radio y gráfica.
-h = 4 → h = -4; -k = -6 → k = -(-6) → k = 6
r2 = 16 → √r2 = √16 → r = 4
Ecuación general
La ecuación general de una circunferencia es x2 + y2 + Dx + Ey + C = 0
D = -2h → D = -2(-4) → D = 8; E = -2k → E = -2(6) → E = -12
C = (D/-2)2 + (E/-2)2 – r2 → C = (8/-2)2 + (-12/-2)2 – (4)2
C =(-4)2 + (6)2 –16 → C =16+36–16 → C = 36 Sustituyendo x2 + y2 + 8x – 12y + 36 = 0
Gráfica
3) Sea la circunferencia que tiene por ecuación x2 + y2 – 14x +
10y + 38 = 0.
Determina centro, radio, ecuación ordinaria y graficarla.
La ecuación general de una circunferencia es x2 + y2 + Dx + Ey + C = 0
D = -2h → h = -D/2 → h = -(-14/2) → h = 7 → C (7, -5)
E = -2k → k = -E/2 → k = -10/2 → k = -5
Radio
r2 = (- D/2)2 + (- E/2)2 – C → r2 = [-(-14/2)]2 + (-10/2)2 – 38
r2 = (7)2 + (- 5)2 – 38 → r2 = 49 + 25 - 38; r2 = 74 – 38 → r2 = 36 r = 6
Ecuación ordinaria
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x – 7)2 + (y + 5)2 = 36
10y + 38 = 0.
Determina centro, radio, ecuación ordinaria y graficarla.
La ecuación general de una circunferencia es x2 + y2 + Dx + Ey + C = 0
D = -2h → h = -D/2 → h = -(-14/2) → h = 7 → C (7, -5)
E = -2k → k = -E/2 → k = -10/2 → k = -5
Radio
r2 = (- D/2)2 + (- E/2)2 – C → r2 = [-(-14/2)]2 + (-10/2)2 – 38
r2 = (7)2 + (- 5)2 – 38 → r2 = 49 + 25 - 38; r2 = 74 – 38 → r2 = 36 r = 6
Ecuación ordinaria
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x – 7)2 + (y + 5)2 = 36
4) Hallar la ecuación general, centro, radio y ecuación ordinaria de la circunferenciaque pasa por los puntos:A (-5,9); B (2,4); C (-10, 4).
a) Se debe partir de la ecuación general de la circunferencia x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0, sustituir x e y en cada punto y formar así el sistema de 3 ecuaciones con 3 variables.
Para A (-5, 9)
x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0 → (-5)2 + (9)2 +D(-5) + E(9) + C = 0
25 + 81 –5D + 9E + C = 0 → 106 –5D + 9E + C = 0→- 5D +9E + C=-106 1
Para B (2, 4)
x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0 → (2)2 + (4)2 +D(2) + E(4) + C = 0
4 + 16 + 2D + 4E + C = 0 → 20 +2D + 4E + C = 0→ 2D + 4E + C =- 20 2
Para C (-10, 4)
x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0 → (-10)2 + (4)2 +D(-10) + E(4) + C = 0
100 + 16 – 10D + 4E + C=0 → 116 –10D+ 4E + C = 0 → - 10D+4E+C=-116 3
El sistema formado es
- 5D +9E + C=-106 1
2D + 4E + C =- 20 2
- 10D+4E+C=-116 3
a) Se debe partir de la ecuación general de la circunferencia x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0, sustituir x e y en cada punto y formar así el sistema de 3 ecuaciones con 3 variables.
Para A (-5, 9)
x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0 → (-5)2 + (9)2 +D(-5) + E(9) + C = 0
25 + 81 –5D + 9E + C = 0 → 106 –5D + 9E + C = 0→- 5D +9E + C=-106 1
Para B (2, 4)
x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0 → (2)2 + (4)2 +D(2) + E(4) + C = 0
4 + 16 + 2D + 4E + C = 0 → 20 +2D + 4E + C = 0→ 2D + 4E + C =- 20 2
Para C (-10, 4)
x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0 → (-10)2 + (4)2 +D(-10) + E(4) + C = 0
100 + 16 – 10D + 4E + C=0 → 116 –10D+ 4E + C = 0 → - 10D+4E+C=-116 3
El sistema formado es
- 5D +9E + C=-106 1
2D + 4E + C =- 20 2
- 10D+4E+C=-116 3
Solución
Por rapidez es conveniente aplicar reducción para resolver el sistema.
Combinar uno y dos, eliminar la variable D
Combinar uno y dos, eliminar la variable D
- 5D + 9E + C = - 106 → 2(-5D + 9E +C = -106) → -10D+18E+2C=-212
2D + 4E + C =- 20 → 5(2D +4E +C =-20) → 10D + 20E +5 C = -100 38E +7C=-312 4
Combinar dos y tres, eliminar la misma variable
2D + 4E + C =- 20 → 10(2D +4E + C = -20) → 20D + 40E + 10C = -200
- 10D + 4E + C =- 116 → 2(-10D + 4E + C = -116) → -20D + 8E + 2C = -232 48E+12C=-432 5
2D + 4E + C =- 20 → 5(2D +4E +C =-20) → 10D + 20E +5 C = -100 38E +7C=-312 4
Combinar dos y tres, eliminar la misma variable
2D + 4E + C =- 20 → 10(2D +4E + C = -20) → 20D + 40E + 10C = -200
- 10D + 4E + C =- 116 → 2(-10D + 4E + C = -116) → -20D + 8E + 2C = -232 48E+12C=-432 5
El sistema reducido es
38E + 7C = - 312 4
48E +12C = - 432 5
Solución del sistema reducido
38E + 7C = -312 → 12(38E + 7C = -312) → 456E + 84C = -3744
48E + 12C = -432 → -7(48E +12C =- 432) → -336E – 84C = 3024 120E = -720 → E = -720/120 → E =- 6
38E + 7C = -312 → 38(-6) + 7C = -312
-228 +7C = -312 → 7C =-312 + 228
7C = -84 → C = -84/7 → C = -12
Para encontrar el valor de la 3ra variable se toma una de las ecuaciones del 1er sistema.
2D + 4E + C = - 20 → 2D + 4(-6) - 12 = - 20
2D – 24 – 12 = - 20 → 2D – 36 = - 20
2D = - 20 + 36 → 2D = 16 → D = 16/2 → D = 8
La ecuación general de la circunferencia es
x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0 → X2 + y2 + 8x – 6y – 12 = 0
a) Coordenadas del centro
D = - 2h → h = -D/2; E = -2k → k = E/-2
h =8/-2 → h = -4 k = -6/-2 → k = 3 → C = (-4, 3)
b) Radio de la circunferencia
r2 = (D/-2)2 + (E/-2)2 – C → r2 = (8/-2)2 + (-6/-2)2 – (-12)
r2 = (-4)2 + (3)2 + 12 → r2 = 16 + 9 + 12 → r2 = 37 → √r2 = √37 → r = 6.08
c)Ecuación ordinaria: En este caso pueden usarse dos vías:
1) Utilizando la ecuación general y completando cuadrado
2) Sustituyendo los valores de h, k y r en la expresión
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 → (x – (-4))2 + (y - 3)2 = (6.08)2 → (x + 4)2 + (y - 3)2 = 37 Gráfica
48E +12C = - 432 5
Solución del sistema reducido
38E + 7C = -312 → 12(38E + 7C = -312) → 456E + 84C = -3744
48E + 12C = -432 → -7(48E +12C =- 432) → -336E – 84C = 3024 120E = -720 → E = -720/120 → E =- 6
38E + 7C = -312 → 38(-6) + 7C = -312
-228 +7C = -312 → 7C =-312 + 228
7C = -84 → C = -84/7 → C = -12
Para encontrar el valor de la 3ra variable se toma una de las ecuaciones del 1er sistema.
2D + 4E + C = - 20 → 2D + 4(-6) - 12 = - 20
2D – 24 – 12 = - 20 → 2D – 36 = - 20
2D = - 20 + 36 → 2D = 16 → D = 16/2 → D = 8
La ecuación general de la circunferencia es
x2 + y2 + Dx + Ey +C = 0 → X2 + y2 + 8x – 6y – 12 = 0
a) Coordenadas del centro
D = - 2h → h = -D/2; E = -2k → k = E/-2
h =8/-2 → h = -4 k = -6/-2 → k = 3 → C = (-4, 3)
b) Radio de la circunferencia
r2 = (D/-2)2 + (E/-2)2 – C → r2 = (8/-2)2 + (-6/-2)2 – (-12)
r2 = (-4)2 + (3)2 + 12 → r2 = 16 + 9 + 12 → r2 = 37 → √r2 = √37 → r = 6.08
c)Ecuación ordinaria: En este caso pueden usarse dos vías:
1) Utilizando la ecuación general y completando cuadrado
2) Sustituyendo los valores de h, k y r en la expresión
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 → (x – (-4))2 + (y - 3)2 = (6.08)2 → (x + 4)2 + (y - 3)2 = 37 Gráfica
5) Indicar si la ecuación: 6x2 + 6y2 - 4x - 12y - 14 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.
a) Como los coeficientes de x2; y2 son distintos de uno, debe dividirse por 6 todos los términos.
6x2/6 + 6y2/6 – 4x/6 – 12y/6 – 14/6 = 0
X2 + y2 – 2x/3 – 2y – 7/3 = 0
b) No contiene término xy
c) ((-2/3)/-2)2 + (-2/-2)2 – (-7/3) > 0 → (1/3)2 + (1)2 + 7/3 > 0 → 0.11 + 1 + 2.33 > 0 → 3.44 > 0
La ecuación representa una circunferencia, cumple las tres condiciones establecidas.
Centro y radio de la circunferencia
h = D/-2 → h = (-2/3)/-2 → h= 1/3 ; k = E/-2 → k = -2/-2 → k = 1
r2 = (1/3)2 + (1)2 – (-7/3) → r2 = 1/9 + 1 + 7/3 → r2 = 31/9 → r = 1.9
a) Como los coeficientes de x2; y2 son distintos de uno, debe dividirse por 6 todos los términos.
6x2/6 + 6y2/6 – 4x/6 – 12y/6 – 14/6 = 0
X2 + y2 – 2x/3 – 2y – 7/3 = 0
b) No contiene término xy
c) ((-2/3)/-2)2 + (-2/-2)2 – (-7/3) > 0 → (1/3)2 + (1)2 + 7/3 > 0 → 0.11 + 1 + 2.33 > 0 → 3.44 > 0
La ecuación representa una circunferencia, cumple las tres condiciones establecidas.
Centro y radio de la circunferencia
h = D/-2 → h = (-2/3)/-2 → h= 1/3 ; k = E/-2 → k = -2/-2 → k = 1
r2 = (1/3)2 + (1)2 – (-7/3) → r2 = 1/9 + 1 + 7/3 → r2 = 31/9 → r = 1.9