Sucesiones, Progresiones y Series
Función: es una relación entre dos magnitudes caracterizada porque a los valores de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda magnitud.
♦ A la primera magnitud se le llama variable independiente y se denota por “x”.
♦ A la segunda magnitud se le llama variable dependiente y se denota por “y” o f(x). 
En las siguientes formulas sustituye la variable “n” por los valores 1, 2, 3, 4 y realiza las operaciones indicadas.
a) – 3n + 2n2 b) (- 1)n(-n+3)/(4n-5) c) nn+3 d) √(n + 2) e) 4n2 + 3 f) (2n – 1)/n2 g) - n3/7 h) (5n – 4)/(n + 1)2 Sucesiones de números reales
Las series numéricas: 1, 2, 3, 4, 5, 6,……….. ; 1, - 2, 4, - 8, 16, …….. ; 2, 4, 8, 16,…… ; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ……. Se denominan “sucesiones numéricas” porque forman un conjunto ordenado de números. Cada uno de los elementos que constituye la sucesión se le llama “término”.
Para representar los diferentes términos de una sucesión se utiliza la misma letra con diferentes subíndices que indican el lugar que ocupa ese término.
Así: a1representa el primer término; a2 representa el segundo término; a3 representa el tercer término
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an: representa el término que ocupa el lugar “enésimo” y recibe el nombre de “término general”. Una sucesión es una función que hace corresponder a cada número natural distinto de cero un número real. Término general de una sucesión
Una sucesión queda determinada si se conoce su término general, que una expresión algebraica en función de “n” donde n > 0
Una sucesión puede escribirse como { a1, a2, a3, …….., an} se puede observar que tiene infinitos términos, como números naturales. Por ejemplo en la sucesión an = (2n + 1)/n2 si sustituimos la variable “n” por cada número natural n > 0 resulta: F(1) = (2*1 + 1)/12 = 3 ; F(2) = (2*2 + 1)/22 = 5/4 ; F(3) = (2*3 + 1)/32 = 7/9 ; F(4) = (2*4 + 1)/42 = 9/16
La sucesión es 3, 5/4, 7/9, 9/16, 11/25, 13/36, ………
Monotonía de las sucesiones
Una sucesión (an) monótona creciente si cada término es menor o igual que el siguiente. Esto es an ≤ an+1; ∀n ϵ N
Así 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5,………. es monótona creciente
Una sucesión (an) monótona decreciente si cada término es mayor o igual que el siguiente. Esto es an ≥ an+1; ∀n ϵ N
Así 6, 4, 2, 2, - 2, - 2, - 4, - 5, …………. es monótona decreciente
Una sucesión (an) monótona estrictamente crecientesi cada término es menor que el siguiente. Esto es an < an+1; ∀n ϵ N
Así 1, 4, 9, 16, 25, 36,…….. es monótona estrictamente creciente
Una sucesión (an) monótona estrictamente decrecientesi cada término es mayor que el siguiente. Esto es an > an+1; ∀n ϵ N
Así 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,………. es monótona estrictamente decreciente
Cuando en una sucesión los términos van alternando su signo, se dice que es una sucesión oscilante. Así 1, - 1, 1, - 1,…………
Ley de recurrencia
A veces el término general de una sucesión no se puede transcribir como una expresión en función de “n” en esos casos se puede definir una sucesión mediante una ley de recurrencia, que permite obtener un término a partir de los anteriores.
Por ejemplo la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……….. en esta sucesión su término general se obtiene con la ley de recurrencia an = an-1 + an-2, donde a1 = a2 = 1. Cada término excepto los dos primeros(1) con que comienza, se obtiene como suma de los dos anteriores.
Ejercicios
1) Hallar por simple inspección el término general de las siguientes sucesiones.
a) 1, 4, 9, 16, 25, 36,……. b) 6/8, 8/10, 10/12, 12/14,…… c) 3, 6, 9, 12, 15, 18,……… d) 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9,…… e) 4, 8, 12, 16, 20, 24,…….. f) 1, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,……. g) 5, 9, 13, 17, 21, 25……… h) 5, - 25, 125, - 625,……
2) Halla los cuatro primeros término de las sucesiones, cuyos términos generales respectivos aparecen a continuación.
a) an = n2 + 3 b) an = (-1)n(2n/(n+1)) c) an = (3n – 2)/6n d) an = (- 1)n+1(2/(n+2) 2) e) an = (- 1)2n/(n + 1) f) an = (- 1)2n + (2n+1)/2n
Progresiones aritméticas
Víctor esta dispuesto a correr este año el maratón de 42 km y para estar en forma se ha propuesto un plan de entrenamiento muy exigente cada semana debe correr 3 km más que la semana anterior. Comienza con 2 km y quedan 15 semanas para el maratón. Si anotamos las distancias que recorre Víctor cada semana, obtenemos la sucesión {2, 5, 8, 11, 14,……..}; en esta sucesión se puede apreciar que los términos van aumentando en una cantidad constante, es decir, en 3 km cada término. Las sucesiones con estas características se llaman “progresiones aritméticas”.
Una progresión aritmética es una sucesión de números reales en la que la diferencia “d” entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
En toda progresión aritmética se cumple que: ai+1 – ai = d; ∀i ϵN - {0} Cada termino se obtiene sumando al anterior la diferencia d → ai+1 = ai + d; ∀i ϵN - {0}
Término general de una progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión que queda completamente definida si se obtiene su término general.
a2 = a1 + d; a3 = a2 + d = (a1 + d) + d → a3 = a1 + 2d; a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d → a4 = a1 +
3d
…………………………………………………..
En general an = a1 + (n – 1) (d)
No tiene que ser el primero, puede ser un término cualquiera ak. an = ak + (n – k)(d)
Ejercicios
I. Resuelve los problemas
a) Determina el término que ocupa el lugar 30 de una progresión aritmética cuyo primer término es – 2 y la diferencia es 3.
b) Halla el primer término de una progresión aritmética donde a15 = 28 y d = - 2
c) En el ejemplo de Víctor, ¿Cuántos km recorrerá antes de la prueba? ¿Cuántas semanas deben pasar para que recorra 26 km?
II. En las progresiones aritméticas, halla el término pedido:
a) 7, 10, 13,--- --- --- a10 b) – 8, 2, 12, --- --- --- a6 c) 2/7, 1/8, --- --- --- a8 d) 1/3, 7/8, --- --- --- a5
e) – 4, - 2/3, --- --- --- a7 f) – 7, - 3, 1, --- --- --- a23 g) 11, 6, 1, --- --- --- a11 h) 8, 0, - 8, --- --- --- a9 Interpolación aritmética
En una competición de béisbol se quiere premiar los sietes primeros lugares de forma que al primero se den 10,000 pesos y premio de los demás se vaya reduciendo según una progresión aritmética hasta llegar al séptimo, al que corresponden 2,800 pesos. ¿Cuántos pesos le corresponderán a cada jugador?
En este caso se origina una progresión aritmética en la cual se conocen el primer término 10,000 y el séptimo 2,800 faltando los valores de los premios correspondientes a los cinco lugares faltantes 10,000, ------, -----, -----, -----, -----, 2,80
La interpolación aritmética consiste en intercalar una cantidad concreta de números reales entre dos conocidos, de forma que la sucesión resultante sea una progresión aritmética.
Las cantidades que se desean intercalar se llaman “medios aritméticos”. Si se quiere intercalar “m” medios aritméticos entre dos términos “p” y “q”
Donde “p” es el 1er término y “q” es el 2do término, el número de termino a intercalar es “m+1” ⇒ (p, m1, m2, -- -- --, mm, q)
Para que sea aritmética solo se debe hallar la diferencia mediante la fórmula d = (q – p)/(m + 1). Si la diferencia es menor que cero, entonces la progresión es decreciente. d = (q – p)/(m + 1) → d = (2,800 – 10,000)/(5 +1) = - 1200
a1 = p → a1 = 10,000; a2 = p + d → a2 = 10,000 + (- 1200) = 8,800;
a3 =p + 2d → a3 =10,000 + 2(- 1200) = 7,600: a4 = p + 3d → a4 = 10,000 + 3(- 1200) = 6,400;
a5 = p + 4d → a5 = 10,000 + 4(- 1200) = 5,200; a6 = p + 5d → a6 = 10,000 + 5(- 1200) = 4,000;
a7 = p + 6d → a7 = 10,000 + 6(- 1200) 2,800. Los premios faltantes son: 8,800; 7600; 6400; 5,200 y 4,000.
La progresión es: 10,000; 8,800; 7600; 6400; 5,200; 4,000 y 2,800.
Ejercicios
I. Interpola los medios aritméticos indicados para formar progresiones aritméticas en:
a) Cinco medios entre los términos 5 y 29 b) Tres medios entre los términos – 7 y 41 c) Siete medios entre los términos 0 y 6 d) Cuatro medios entre los términos – 13 y – 9 e) Ocho medios entre los términos 1/2 y - 7/10 f) Cuatro medios entre los términos – 42 y 53
II. Se van a colocar 10 farolas en un nuevo tramo de carretera. Si la primera farola se sitúa en el kilómetro 14 y la última en el 25, ¿en qué kilómetros se situarán las restantes para que sigan una progresión aritmética?
III. Compré 50 libros. Por el primero pagué RD$ 8.00 y por cada uno de los demás RD$3.00 más que el anterior. ¿Cuál fue el importe total de la compra?
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija “r”, llamada razón.Si an-1 Término anterior; an = Término siguiente; r = razón ⇒ r = an/an-1; ∀n ϵ N
Determina la razón en cada caso: a) 3, 6, 12, 24, 48, ... b) 1, 1/2, 1/4, 1/8,………… c) 2, 6, 18, 54,……….. Término general de una progresión geométrica
Si se conoce el 1er término y la razón, entonces a1 = a1 * r0; a2 = (a1)(r) → a2 = (a1 * r0) * r → a2 = a1 * r
a3 = (a2*r) → a3 = (a1* r) * r → a1 * r2; a4 = a3* r = (a1 * r2)*r → a4 = a1* r3
……………………………………………………………………………………………………….
Generalizando an = a1 * rn-1
Completa y calcula el término general de las progresiones geométricas.
Términos 1er Término Razón Término gral
3, 9, 27, 81,………….
-5, -10, -20, -40,…….
1024, 512, 256,……..
Determina el término pedido en cada progresión geométrica: a) 3, 6, 12, 24, 48,……………; a7 b) 1, 2/5, 4/25, 8/125, 16/625,………; a9 c) 4, - 8, 16, - 32, 64,……… a12
d) Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2do ha pagado 2 €, por el 3ro ha pagado 4 €, por el 4to ha pagado 8 € y así sucesivamente. ¿Cuánto ha pagado por los libros?
e) La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 menos cada uno de los siguientes días del tratamiento. El tratamiento dura 12 días. ¿Cuánto mg tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento?
Interpolación geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m, entonces la razón es r = (√b/a) m+1
En una progresión geométrica de 5 términos, el 1er término es a1 = 4 y quinto término es an = 64. Interpolar los términos faltantes. 4,-----,-----,-----,64. El número de términos que se debe interpolar es 3 por tanto m = 3, la razón será (r):
r = (√b/a) m+1 → r = (√64/4)3+1 → r = (√16)4 → r = 2 esto es a2 = 4 * 2 → a2 = 8; a3 = a2 * r → a3 = 8 * 2 → a3 = 16; a4 = a3 * r → a4 = 16 * 2 → a4 = 32
La progresión resultante es 4, 8, 16, 32, 64
En cada caso hacer lo que se pide:
a) El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón y escribir la progresión.
b) El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.
c) Averigua la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 27 y el cuarto es 8.
d) Insertar 5 medios geométricos entre 4/9 y 27/265 e) Insertar 5 medios geométricos entre 5 y 3125